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Restes Chinois

Outil pour appliquer le théorème des restes chinois. Le théorème des restes chinois permet de résoudre des systèmes d'équations de congruences en arithmétique modulaire.

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Restes Chinois -

Catégorie(s) : Mathématiques, Arithmétique

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Outil pour appliquer le théorème des restes chinois. Le théorème des restes chinois permet de résoudre des systèmes d'équations de congruences en arithmétique modulaire.

Réponses aux Questions

Qu'est-ce que le théorème des restes chinois ?

Le théorème des restes chinois est le nom donné à un système de congrences (équations modulaires). Le problème original consiste à considérer un certain nombre d'éléments dont on connait les restes de leurs divisions euclidiennes.

Exemple : Si on les range par 3 il en reste 2. Si on les range par 5, il en reste 3 et si on les range par 7, il en reste 2. Combien ai-je d'objets ?

Soient une liste de \( k \) entiers \( n_1, ..., n_k \) premiers entre eux et leur produit \( n = \prod_{i=1}^k n_i \). Pour tous entiers \( a_1, ... , a_k \), il existe un autre entier \( x \) qui est unique modulo \( n \), tel que :

$$ \begin{matrix} x \equiv a_1\pmod{n_1} \\ \ldots \\ x \equiv a_k\pmod{n_k} \end{matrix} $$

Comment calculer les restes chinois ?

Pour trouver une solution du système de congruences, on considère les nombres \( \hat{n}_i = \frac n{n_i} = n_1 \ldots n_{i-1}n_{i+1}\ldots n_k \) qui sont aussi premiers entre eux. Pour trouver les inverses modulaires, on utilise alors le théorème de Bézout pour trouver des entiers \( u_i \) et \( v_i \) tels que \( u_i n_i + v_i \hat{n}_i = 1 \). Ici, \( v_i \) est l'inverse de \( \hat{n}_i \) modulo \( n_i \).

On considère alors les nombres \( e_i = v_i \hat{n}_i \equiv 1 \mod{n_i} \). Une solution particulière du théorème des restes chinois est $$ x = \sum_{i=1}^k a_i e_i~ $$

Le programme accepte les nombres sous forme de couples (reste, modulo), mais le plus simple est d'écrire x = A mod B

Exemple : \( (2,3),(3,5),(2,7) \iff \left\{ \begin{array}{ll} x = 2 \mod 3 \\ x = 3 \mod 5 \\ x = 2 \mod 7 \end{array} \right. \Rightarrow x = 23 \)

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