Outil pour calculer le rang d'une Matrice. En mathématiques, le rang d'une matrice M est le nombre de lignes ou de colonnes linéairement indépendantes.
Rang d'une Matrice - dCode
Catégorie(s) : Matrice
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Rang d'une Matrice
Calculatrice du Rang d'une Matrice
Calcul des vecteurs dépendants
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce que le rang d'une matrice ? (Définition)
Le rang d'une matrice (parfois noté Rg) est principalement défini comme le nombre maximal de vecteurs lignes (ou vecteurs colonnes) qui sont linéairement indépendants.
Le rang d'une matrice est également la dimension du sous-espace vectoriel créé par les vecteurs (soit lignes soit colonnes) de la matrice.
Le rang peut être calculé aussi bien pour les lignes que pour les colonnes, il aura la même valeur.
Comment calculer le rang d'une matrice ?
Pour calculer le rang d'une matrice $ M $, comparer chacune des lignes entre elles et chacune des colonnes entre elles afin de vérifier qu'elles sont deux-à-deux linéairement indépendantes.
Exemple : $$ M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 2 & 4 \end{bmatrix} $$ La matrice $ M $ a pour rang $ 2 $ car la ligne 2 est le double de la ligne 1, elle ne sont pas linéairement indépendantes.
NB : la colonne 3 est la somme des colonnes 1 et 2, elles ne sont pas linéairement indépendantes.
Pourquoi calculer le rang d'une matrice ?
Le rang d'une matrice renseigne sur plusieurs propriétés de la matrice, notamment :
— Le nombre de solutions du système linéaire associé à la matrice : si le rang de la matrice est égal au nombre de variables, alors le système admet une solution unique. Si le rang est inférieur au nombre de variables, alors le système admet une infinité de solutions.
— L'inversibilité de la matrice : une matrice carrée est inversible si et seulement si son rang est égal à son nombre de lignes (ou de colonnes).
— La dimension de l'espace engendré par les vecteurs de la matrice : le rang d'une matrice est égal à la dimension de l'espace vectoriel engendré par ses vecteurs.
Quelle est la différence entre le rang d'une matrice et son ordre ?
L'ordre est le nombre de lignes et de colonnes qu'elle contient. Le rang d'une matrice renseigne sur sa taille linéaire, qui ne peut pas être plus grande que son ordre.
Quel est le rang de la transposée d'une matrice ?
Le rang d'une matrice est égal au rang de sa transposée.
Quel est le rang d'une matrice nulle ?
Le rang d'une matrice nulle est égal à 0, car elle ne contient aucun vecteur non nul.
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