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Matrice Echelonnée

Outil pour réduire une matrice à sa forme echelonnée. Une matrice échelonnée a un nombre de zéros en partant de la gauche sur chaque ligne augmentant ligne par ligne, jusqu'à une ligne complète de zéros.

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Matrice Echelonnée -

Catégorie(s) : Matrice

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Matrice Echelonnée

Réduction en Matrice Echelonnée

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Outil pour réduire une matrice à sa forme echelonnée. Une matrice échelonnée a un nombre de zéros en partant de la gauche sur chaque ligne augmentant ligne par ligne, jusqu'à une ligne complète de zéros.

Réponses aux Questions

Qu'est ce qu'une matrice échelonnée ?

Une matrice échelonnée (reduced row echelon form RREF) est une matrice de la forme $$ \begin{bmatrix} \oplus & * & * & * \\ 0 & 0 & \oplus & * \\ 0 & 0 & 0 & \oplus \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

Les $ * $ sont des coefficients quelconques et les $ \oplus $ sont des coefficients appelés pivots non nuls.

Une matrice échelonnée réduite est une matrice échelonnée dont les pivot valent 1 et les dont les coefficients de la colonne du pivot sont valent zéro.

$$ \begin{bmatrix} 1 & * & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

Comment transformer une matrice en matrice échelonnée ?

La méthode de transformation d'une matrice quelconque en une matrice échelonnée réduite est réalisée au moyen d'opérations sur les lignes comme :

- la permutation de 2 lignes

- la multiplication d'une ligne par une constante non nulle

- l'addition d'une ligne ou d'un multiple d'une ligne

Exemple : La matrice $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ peut se réduire et s'échelonner $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ en 2 étapes : 1/ Multiplication de la ligne 2 par 1/2 (ou division par 2) $ \begin{bmatrix} 2 & 4 & 8 \end{bmatrix} $ devient $ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} $ et 2/ soustraction de la ligne 2 à la ligne 1 $ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $.

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