Réduction de Jordan (Matrice)

Une matrice carrée $ M $ de taille $ n \times n $ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses espaces propres est $ n $.

Si $ M $ n'est pas diagonalisable, il existe une matrice quasi-diagonale $ J $, dite matrice de Jordan, qui possède des éléments non nuls sur la diagonale principale et sur la première diagonale au-dessus. Plus précisément, la matrice de Jordan aura les valeurs propres $ \lambda_i $ sur la diagonale et avec des 1 juste au dessus (en cas de multiplicité), soit de la forme normale de Jordan $$ \begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & \; & \; \\ \; & \lambda_i & \ddots & \; \\ \; & \; & \ddots & 1 \\ \; & \; & \; & \lambda_i \end{bmatrix} $$

Soit $ M $ une matrice carrée de taille $ n $, qui a pour valeurs propres l'ensemble des $ \lambda_i $.

La décomposition de Jordan c'est l'obtention, à partir d'une matrice $ M $, des matrices $ S $ et $ J $ telles que $ M = S . J . S^{-1} $

La réduction est l'opération qui permet de passer de la matrice $ M $ à la matrice de Jordan $ J $ (qui est dite réduite)

Si $ M = SJS^{-1} $ Alors $ M^k = SJ^kS^{-1} $ (voir les puissances de matrices).