Réduction de Jordan (Matrice)

Soit $ M $ une matrice carré de taille $ n $, qui a pour valeurs propres l'ensemble des $ \lambda_n $.

Exemple : $$ M = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \Rightarrow \lambda_n = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Une matrice $ M $ de taille $ n \times n $ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses espaces propres est $ n $.

Si $ M $ n'est pas diagonalisable, il existe une matrice quasi-diagonale $ J $, dite matrice de Jordan, de la forme $$ \begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & \; & \; \\ \; & \lambda_i & \ddots & \; \\ \; & \; & \ddots & 1 \\ \; & \; & \; & \lambda_i \end{bmatrix} $$

Exemple : Ici, $ M $ a seulement 2 vecteurs propres : $ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $ et $ v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $, donc n'est pas diagonalisable, mais a pour matrice de Jordan (forme canonique) $$ M=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} $$

Exemple : Méthode alternative: calculer la matrice de passage $ S $ en calculant un troisième vecteur $ v_3 $ tel que $ (M - 3 I_3) v_3 = k_1 v_1 + k_2 v_2 \Rightarrow v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $. Donc $$ S = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$ et $ M = S . J . \bar{S} $

La décomposition de Jordan c'est l'obtention, à partir d'une matrice $ M $, des matrices $ S $ et $ J $ telles que $ M = S . J . \bar{S} $

Si $ M = SJS^{-1} $ Alors $ M^k = SJ^kS^{-1} $ (voir les puissances de matrices).