Réduction de Jordan (Matrice)

Soit \( M \) une matrice carré de taille \( n \), qui a pour valeurs propres l'ensemble des \( \lambda_n \).

Exemple : $$ M = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \Rightarrow \lambda_n = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Une matrice \( M \) de taille \( n \times n \) est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses espaces propres est \( n \).

Si \( M \) n'est pas diagonalisable, il existe une matrice quasi-diagonale \( J \), dite matrice de Jordan, de la forme $$ \begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & \; & \; \\ \; & \lambda_i & \ddots & \; \\ \; & \; & \ddots & 1 \\ \; & \; & \; & \lambda_i \end{bmatrix} $$

Exemple : Ici, \( M \) a seulement 2 vecteurs propres : \( v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \) et \( v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \), donc n'est pas diagonalisable, mais a pour matrice de Jordan (forme canonique) $$ M=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} $$

Exemple : Méthode alternative: calculer la matrice de passage \( S \) en calculant un troisième vecteur \( v_3 \) tel que \( (M - 3 I_3) v_3 = k_1 v_1 + k_2 v_2 \Rightarrow v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \). Donc $$ S = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$ et \( M = S . J . \bar{S} \)

Si \( M = SJS^{-1} \) Alors \( M^k = SJ^kS^{-1} \) (voir les puissances de matrices).