Limite de Fonction

Question 1

Comment calculer une limite ?

Answer

Pour calculer une limite d'une fonction, remplacer la variable par la valeur vers laquelle elle tend/approche (au voisinage proche de).

Exemple : Calculer la limite de $ f(x)=2x $ lorsque $ x $ tend vers $ 1 $ s'écrit $ \lim_{x\to1}f(x) $ et revient à calculer $ 2 \times 1 = 2 $ donc $ \lim_{x\to1}f(x) = 2 $.

Dans certains cas, le résultat est indéterminé (voir ci-après) et peut signifier une asymptote.

Question 2

Comment faire des calculs de limite avec 0 et l'infini $ \infty $ ?

Answer

Les calculs de limites font généralement apparaitre des formes mathématiques utilisant les valeurs 0 et l'infini (positif ou négatif), mais sauf forme indéterminées, les calculs suivent les règles suivantes :

$$ +\infty + \infty = +\infty $$	$$ -\infty - \infty = -\infty $$
$$ +\infty - \infty = ? $$	$$ -\infty + \infty = ? $$
$$ 0 + \infty = +\infty $$	$$ 0 - \infty = -\infty $$
$$ + \infty + 0 = +\infty $$	$$ - \infty + 0 = -\infty $$
$$ \pm k + \infty = +\infty $$	$$ \pm k - \infty = -\infty $$
$$ + \infty \pm k = +\infty $$	$$ - \infty \pm k = -\infty $$
$$ +\infty \times +\infty = +\infty $$	$$ +\infty \times -\infty = -\infty $$
$$ -\infty \times +\infty = -\infty $$	$$ -\infty \times -\infty = +\infty $$
$$ 0 \times +\infty = ? $$	$$ 0 \times -\infty = ? $$
$$ +\infty \times 0 = ? $$	$$ -\infty \times 0 = ? $$
$$ k \times +\infty = +\infty $$	$$ k \times -\infty = -\infty $$
$$ -k \times +\infty = -\infty $$	$$ -k \times -\infty = +\infty $$
$$ \frac{ +\infty }{ +\infty } = ? $$	$$ \frac{ +\infty }{ -\infty } = ? $$
$$ \frac{ -\infty }{ +\infty } = ? $$	$$ \frac{ -\infty }{ -\infty } = ? $$
$$ \frac{ 0 }{ +\infty } = 0 $$	$$ \frac{ 0 }{ -\infty } = 0 $$
$$ \frac{ +\infty }{ 0 } = +\infty $$	$$ \frac{ -\infty }{ 0 } = -\infty $$
$$ \frac{ +\infty }{ k } = +\infty $$	$$ \frac{ -\infty }{ k } = -\infty $$
$$ \frac{ +\infty }{ - k } = -\infty $$	$$ \frac{ -\infty }{ - k } = +\infty $$
$$ \frac{ k }{ +\infty } = 0^+ $$	$$ \frac{ k }{ -\infty } = 0^- $$
$$ \frac{ -k }{ +\infty } = 0^- $$	$$ \frac{ -k }{ -\infty } = 0^+ $$
$$ \frac{ 0 }{ 0 } = ? $$	$$ \frac{ k }{ k } = 1 $$
$$ \frac{ k }{ 0 } = + \infty $$	$$ \frac{ -k }{ 0 } = - \infty $$
$$ \frac{ 0 }{ k } = 0 $$	$$ \frac{ 0 }{ -k } = 0 $$
$$ (\pm k)^0 = 1 $$	$$ 0^{\pm k} = 0 $$
$$ 1^{\pm k} = 1 $$	$$ (\pm k)^1 = (\pm k) $$
$$ +\infty^0 = ? $$	$$ -\infty^0 = ? $$
$$ 0^{+\infty} = 0 $$	$$ 0^{-\infty} = 0 $$

Avec $ k > 0 $ une constante réelle non nulle positive

Les ? représentent des formes indéterminées

Question 3

Quelles sont les formes indéterminées ?

Answer

Les formes d'indétermination qui apparaissent lors des calculs de limites sont :

$$ \frac{0}{0} $$	0 divisé par 0
$$ \frac{\pm\infty}{\pm\infty} $$	infini divisé par infini
$$ 0 \times \pm\infty $$ ou $$ \pm\infty \times 0 $$	0 fois infini
$$ +\infty - \infty $$ ou $$ -\infty + \infty $$	difference entre infini
$$ 0^0 $$	0 exposant 0
$$ \pm\infty^0 $$	infini exposant 0
$$ 1^{\pm\infty}$$	1 exposant infini

Question 4

Comment calculer une forme indéterminée ?

Answer

Plusieurs méthodes liées aux calculs de limites sont possibles.

1 - Factoriser (en utilisant les outils de factorisation mathématique de dCode par exemple)

2 - Utiliser la règle de l'Hopital (dans les cas de forme $ 0/0 $ ou $ \infty / \infty $: si $ f $ et $ g $ sont 2 fonctions définies sur l'intervalle $ [a,b[ $ et dérivables en $ a $, et telles que $ f(a)=g(a)=0 $, alors si $ g'(a) \ne 0 $ : $$ \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f' (a)}{g' (a)} $$

3 - Utiliser le théorème du plus haut degré (dans le cas d'addition de polynômes et lorsque la variable tend vers l'infini) : la limite d'un polynôme est la limite de son terme de plus haut degré.

4 - Calculer les asymptotes pour en déduire les valeurs limites

5 - Transformer l'expression (en utilisant des identités remarquables ou sortir des éléments des racines, etc.)

Question 5

Comment calculer les limites des fonctions trigonométriques comme sinus et cosinu ?

Answer

Les fonctions sinus et cosinus, tendant vers $ \pm \infty $ n'admettent pas de limite car elles sont périodiques (reproduisant un motif infini) et donc ne tendent ni vers une valeur finie, ni vers un infini. Leur limite est indéfinie, mais parfois notée $ \pm 1 $ (non recommandé).

Question 6

Comment afficher les étapes du calcul ?

Answer

Le calcul de limite de dCode n'applique pas les méthodes scolaires mais du calcul bit à bit, les étapes du calcul sont donc très différentes et ne sont pas affichées.

Limite de Fonction

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Réponses aux Questions

Comment calculer une limite ?

Comment faire des calculs de limite avec 0 et l'infini $ \infty $ ?

Quelles sont les formes indéterminées ?

Comment calculer une forme indéterminée ?

Comment calculer les limites des fonctions trigonométriques comme sinus et cosinu ?

Comment afficher les étapes du calcul ?

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