Outil pour calculer des limites de fonctions mathématiques. Une limite est définie par la valeur d'une fonction lorsque sa varaible se rapproche d'une valeur donnée.
Limite de Fonction - dCode
Catégorie(s) : Mathématiques
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Limite de Fonction
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Calculatrice de Limites
Outil pour calculer des limites de fonctions mathématiques. Une limite est définie par la valeur d'une fonction lorsque sa varaible se rapproche d'une valeur donnée.
Réponses aux Questions
Comment calculer une limite ?
Pour calculer une limite d'une fonction, remplacer la variable par la valeur vers laquelle elle tend (au voisinage de).
Exemple : Calculer la limite de \( f(x)=2x \) lorsque \( x \) tend vers \( 1 \) s'écrit \( \lim_{x\to1}f(x) \) et revient à calculer \( 2 \times 1 = 2 \) donc \( \lim_{x\to1}f(x) = 2 \).
Dans certains cas, le résultat est indéterminé (voir ci-après).
Comment faire des calculs de limite avec 0 et l'infini \( \infty \) ?
Les calculs de limites font généralement apparaitre des formes mathématiques utilisant les valeurs 0 et l'infini (positif ou négatif), mais sauf forme indéterminées, les calculs suivent les règles suivantes :
| $$ +\infty + \infty = +\infty $$ | $$ -\infty - \infty = -\infty $$ |
| $$ +\infty - \infty = ? $$ | $$ -\infty + \infty = ? $$ |
| $$ 0 + \infty = +\infty $$ | $$ 0 - \infty = -\infty $$ |
| $$ + \infty + 0 = +\infty $$ | $$ - \infty + 0 = -\infty $$ |
| $$ \pm k + \infty = +\infty $$ | $$ \pm k - \infty = -\infty $$ |
| $$ + \infty \pm k = +\infty $$ | $$ - \infty \pm k = -\infty $$ |
| $$ +\infty \times +\infty = +\infty $$ | $$ +\infty \times -\infty = -\infty $$ |
| $$ -\infty \times +\infty = -\infty $$ | $$ -\infty \times -\infty = +\infty $$ |
| $$ 0 \times +\infty = ? $$ | $$ 0 \times -\infty = ? $$ |
| $$ +\infty \times 0 = ? $$ | $$ -\infty \times 0 = ? $$ |
| $$ k \times +\infty = +\infty $$ | $$ k \times -\infty = -\infty $$ |
| $$ -k \times +\infty = -\infty $$ | $$ -k \times -\infty = +\infty $$ |
| $$ \frac{ +\infty }{ +\infty } = ? $$ | $$ \frac{ +\infty }{ -\infty } = ? $$ |
| $$ \frac{ -\infty }{ +\infty } = ? $$ | $$ \frac{ -\infty }{ -\infty } = ? $$ |
| $$ \frac{ 0 }{ +\infty } = 0 $$ | $$ \frac{ 0 }{ -\infty } = 0 $$ |
| $$ \frac{ +\infty }{ 0 } = +\infty $$ | $$ \frac{ -\infty }{ 0 } = -\infty $$ |
| $$ \frac{ +\infty }{ k } = +\infty $$ | $$ \frac{ -\infty }{ k } = -\infty $$ |
| $$ \frac{ +\infty }{ - k } = -\infty $$ | $$ \frac{ -\infty }{ - k } = +\infty $$ |
| $$ \frac{ k }{ +\infty } = 0^+ $$ | $$ \frac{ k }{ -\infty } = 0^- $$ |
| $$ \frac{ -k }{ +\infty } = 0^- $$ | $$ \frac{ -k }{ -\infty } = 0^+ $$ |
| $$ \frac{ 0 }{ 0 } = ? $$ | $$ \frac{ k }{ k } = 1 $$ |
| $$ \frac{ k }{ 0 } = + \infty $$ | $$ \frac{ -k }{ 0 } = - \infty $$ |
| $$ \frac{ 0 }{ k } = 0 $$ | $$ \frac{ 0 }{ -k } = 0 $$ |
| $$ (\pm k)^0 = 1 $$ | $$ 0^{\pm k} = 0 $$ |
| $$ 1^{\pm k} = 1 $$ | $$ (\pm k)^1 = (\pm k) $$ |
| $$ +\infty^0 = ? $$ | $$ -\infty^0 = ? $$ |
| $$ 0^{+\infty} = 0 $$ | $$ 0^{-\infty} = 0 $$ |
Avec \( k > 0 \) une constante réelle non nulle positive
Les ? représentent des formes indéterminées
Quelles sont les formes indéterminées ?
Les formes d'indétermination qui apparaissent lors des calculs de limites sont :
| $$ \frac{0}{0} $$ | 0 divisé par 0 |
| $$ \frac{\pm\infty}{\pm\infty} $$ | infini divisé par infini |
| $$ 0 \times \pm\infty $$ ou $$ \pm\infty \times 0 $$ | 0 fois infini |
| $$ +\infty - \infty $$ ou $$ -\infty + \infty $$ | difference entre infini |
| $$ 0^0 $$ | 0 exposant 0 |
| $$ \pm\infty^0 $$ | infini exposant 0 |
| $$ 1^{\pm\infty}$$ | 1 exposant infini |
Comment calculer une forme indéterminée ?
Plusieurs méthodes liées aux calculs de limites sont possibles.
1 - Factoriser (en utilisant les outils de factorisation mathématique de dCode par exemple)
2 - Utiliser la règle de l'Hopital (dans les cas de forme \( 0/0 \) ou \( \infty / \infty \): si \( f \) et \( g \) sont 2 fonctions définies sur l'intervalle \( [a,b[ \) et dérivables en \( a \), et telles que \( f(a)=g(a)=0 \), alors si \( g'(a) \ne 0 \) : $$ \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f' (a)}{g' (a)} $$
3 - Utiliser le théorème du plus haut degré (dans le cas d'addition de polynomes et lorsque la variable tend vers l'infini) : la limite d'un polynome est la limite de son terme de plus haut degré.
4 - Calculer les asymptotes pour en déduire les valeurs limites
5 - Transformer l'expression (en utilisant des identités remarquables ou sortir des éléments des racines, etc.)
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