Outil pour calculer des limites de fonctions mathématiques. Calculer rapidement et précisément la valeur d'une fonction lorsque sa variable se rapproche d'une valeur donnée.
Limite de Fonction - dCode
Catégorie(s) : Fonctions
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Limite de Fonction
Calculateur de Limites
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que la limite d'une fonction ? (Définition)
En mathématiques, la limite d'une fonction est une valeur vers laquelle la fonction se rapproche à mesure que la variable se rapproche d'une valeur particulière.
Pourquoi utiliser les limites de fonction ?
Les limites de fonction sont essentielles dans l'analyses des fonctions, pour comprendre leur comportement à des points particuliers, telles que les valeurs extrêmes (minimum, maximum) de leur domaine de définition ou vers leurs points de discontinuité.
Comment calculer une limite ?
Pour calculer une limite d'une fonction, remplacer la variable par la valeur vers laquelle elle tend/approche (au voisinage proche de).
Exemple : Calculer la limite de $ f(x) = 2x $ lorsque $ x $ tend vers $ 1 $ s'écrit $ \lim_{x \to 1} f(x) $ et revient à calculer $ 2 \times 1 = 2 $ donc $ \lim_{x \to 1} f(x) = 2 $.
Dans certains cas, le résultat est indéterminé (voir ci-après) et peut signifier une asymptote.
Comment faire des calculs de limite avec 0 et l'infini $ \infty $ ?
Les calculs de limites font généralement apparaitre des formes mathématiques utilisant les valeurs 0 et l'infini (positif ou négatif), mais sauf formes indéterminées, les calculs suivent les règles suivantes :
| $$ +\infty + \infty = +\infty $$ | $$ -\infty - \infty = -\infty $$ |
| $$ +\infty - \infty = ? $$ | $$ -\infty + \infty = ? $$ |
| $$ 0 + \infty = +\infty $$ | $$ 0 - \infty = -\infty $$ |
| $$ + \infty + 0 = +\infty $$ | $$ - \infty + 0 = -\infty $$ |
| $$ \pm k + \infty = +\infty $$ | $$ \pm k - \infty = -\infty $$ |
| $$ + \infty \pm k = +\infty $$ | $$ - \infty \pm k = -\infty $$ |
| $$ +\infty \times +\infty = +\infty $$ | $$ +\infty \times -\infty = -\infty $$ |
| $$ -\infty \times +\infty = -\infty $$ | $$ -\infty \times -\infty = +\infty $$ |
| $$ 0 \times +\infty = ? $$ | $$ 0 \times -\infty = ? $$ |
| $$ +\infty \times 0 = ? $$ | $$ -\infty \times 0 = ? $$ |
| $$ k \times +\infty = +\infty $$ | $$ k \times -\infty = -\infty $$ |
| $$ -k \times +\infty = -\infty $$ | $$ -k \times -\infty = +\infty $$ |
| $$ \frac{ +\infty }{ +\infty } = ? $$ | $$ \frac{ +\infty }{ -\infty } = ? $$ |
| $$ \frac{ -\infty }{ +\infty } = ? $$ | $$ \frac{ -\infty }{ -\infty } = ? $$ |
| $$ \frac{ 0 }{ +\infty } = 0 $$ | $$ \frac{ 0 }{ -\infty } = 0 $$ |
| $$ \frac{ +\infty }{ 0 } = +\infty $$ | $$ \frac{ -\infty }{ 0 } = -\infty $$ |
| $$ \frac{ +\infty }{ k } = +\infty $$ | $$ \frac{ -\infty }{ k } = -\infty $$ |
| $$ \frac{ +\infty }{ - k } = -\infty $$ | $$ \frac{ -\infty }{ - k } = +\infty $$ |
| $$ \frac{ k }{ +\infty } = 0^+ $$ | $$ \frac{ k }{ -\infty } = 0^- $$ |
| $$ \frac{ -k }{ +\infty } = 0^- $$ | $$ \frac{ -k }{ -\infty } = 0^+ $$ |
| $$ \frac{ 0 }{ 0 } = ? $$ | $$ \frac{ k }{ k } = 1 $$ |
| $$ \frac{ k }{ 0 } = + \infty $$ | $$ \frac{ -k }{ 0 } = - \infty $$ |
| $$ \frac{ 0 }{ k } = 0 $$ | $$ \frac{ 0 }{ -k } = 0 $$ |
| $$ (\pm k)^0 = 1 $$ | $$ 0^{\pm k} = 0 $$ |
| $$ 1^{\pm k} = 1 $$ | $$ (\pm k)^1 = (\pm k) $$ |
| $$ +\infty^0 = ? $$ | $$ -\infty^0 = ? $$ |
| $$ 0^{+\infty} = 0 $$ | $$ 0^{-\infty} = 0 $$ |
Avec $ k > 0 $ une constante réelle non nulle positive
Les ? représentent des formes indéterminées
Quelles sont les formes indéterminées ?
Les formes d'indétermination qui apparaissent lors des calculs de limites sont :
| $$ \frac{0}{0} $$ | 0 divisé par 0 |
| $$ \frac{\pm\infty}{\pm\infty} $$ | infini divisé par infini |
| $$ 0 \times \pm\infty $$ ou $$ \pm\infty \times 0 $$ | 0 fois infini |
| $$ +\infty - \infty $$ ou $$ -\infty + \infty $$ | différence entre infinis |
| $$ 0^0 $$ | 0 exposant 0 |
| $$ \pm\infty^0 $$ | infini exposant 0 |
| $$ 1^{\pm\infty} $$ | 1 exposant infini |
Comment calculer une forme indéterminée ?
Plusieurs méthodes liées aux calculs de limites sont possibles.
1 - Factoriser (en utilisant les outils de factorisation mathématique de dCode par exemple)
2 - Utiliser la règle de l'Hopital (dans les cas de forme $ 0/0 $ ou $ \infty / \infty $: si $ f $ et $ g $ sont 2 fonctions définies sur l'intervalle $ [a,b[ $ et dérivables en $ a $, et telles que $ f(a) = g(a) = 0 $, alors si $ g'(a) \ne 0 $ : $$ \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f' (a)}{g' (a)} $$
3 - Utiliser le théorème du plus haut degré (dans le cas d'addition de polynômes et lorsque la variable tend vers l'infini) : la limite d'un polynôme est la limite de son terme de plus haut degré.
4 - Calculer les asymptotes pour en déduire les valeurs limites
5 - Transformer l'expression (en utilisant des identités remarquables ou sortir des éléments des racines, etc.)
Quelle est la différence entre une limite à gauche et une limite à droite?
Une limite à gauche (limite par la gauche) se réfère à la valeur que la fonction approche lorsque la variable se rapproche de la valeur cible depuis des valeurs inférieures.
Une limite à droite (limite par la droite) se réfère à la valeur que la fonction approche lorsque la variable se rapproche de la valeur cible depuis des valeurs supérieures.
Comment calculer les limites des fonctions trigonométriques comme sinus et cosinus ?
Les fonctions sinus et cosinus, tendant vers $ \pm \infty $ n'admettent pas de limite car elles sont périodiques (reproduisant un motif infini) et donc ne tendent ni vers une valeur finie, ni vers un infini. Leur limite est indéfinie, mais parfois notée $ \pm 1 $ (non recommandé).
Comment afficher les étapes du calcul ?
Le calcul de limite de dCode n'applique pas les méthodes scolaires mais du calcul bit à bit, les étapes du calcul sont donc très différentes et ne sont pas affichées.
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- Qu'est-ce que la limite d'une fonction ? (Définition)
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