Limite de Fonction

Question 1

Comment calculer une limite ?

Answer

Pour calculer une limite, remplacer la variable par la valeur vers laquelle elle tend.

Exemple : Calculer la limite de $ f(x)=2x $ lorsque $ x $ tend vers $ 1 $ s'écrit $ \lim_{x\to1}f(x) $ et revient à calculer $ 2 \times 1 = 2 $ donc $ \lim_{x\to1}f(x) = 2 $.

Dans certains cas, le résultat est indéterminé (voir ci-après).

Question 2

Comment faire des calculs de limite avec 0 et l'infini $ \infty $ ?

Answer

Les calculs de limites font généralement apparaitre des formes mathématiques utilisant les valeurs 0 et l'infini (positif ou négatif), mais sauf forme indéterminées, les calculs suivent les règles suivantes :

$$ +\infty + \infty = +\infty $$	$$ -\infty - \infty = -\infty $$
$$ +\infty - \infty = ? $$	$$ -\infty + \infty = ? $$
$$ 0 + \infty = +\infty $$	$$ 0 - \infty = -\infty $$
$$ + \infty + 0 = +\infty $$	$$ - \infty + 0 = -\infty $$
$$ \pm k + \infty = +\infty $$	$$ \pm k - \infty = -\infty $$
$$ + \infty \pm k = +\infty $$	$$ - \infty \pm k = -\infty $$
$$ +\infty \times +\infty = +\infty $$	$$ +\infty \times -\infty = -\infty $$
$$ -\infty \times +\infty = -\infty $$	$$ -\infty \times -\infty = +\infty $$
$$ 0 \times +\infty = ? $$	$$ 0 \times -\infty = ? $$
$$ +\infty \times 0 = ? $$	$$ -\infty \times 0 = ? $$
$$ k \times +\infty = +\infty $$	$$ k \times -\infty = -\infty $$
$$ -k \times +\infty = -\infty $$	$$ -k \times -\infty = +\infty $$
$$ \frac{ +\infty }{ +\infty } = ? $$	$$ \frac{ +\infty }{ -\infty } = ? $$
$$ \frac{ -\infty }{ +\infty } = ? $$	$$ \frac{ -\infty }{ -\infty } = ? $$
$$ \frac{ 0 }{ +\infty } = 0 $$	$$ \frac{ 0 }{ -\infty } = 0 $$
$$ \frac{ +\infty }{ 0 } = +\infty $$	$$ \frac{ -\infty }{ 0 } = -\infty $$
$$ \frac{ +\infty }{ k } = +\infty $$	$$ \frac{ -\infty }{ k } = -\infty $$
$$ \frac{ +\infty }{ - k } = -\infty $$	$$ \frac{ -\infty }{ - k } = +\infty $$
$$ \frac{ k }{ +\infty } = 0^+ $$	$$ \frac{ k }{ -\infty } = 0^- $$
$$ \frac{ -k }{ +\infty } = 0^- $$	$$ \frac{ -k }{ -\infty } = 0^+ $$
$$ \frac{ 0 }{ 0 } = ? $$	$$ \frac{ k }{ k } = 1 $$
$$ \frac{ k }{ 0 } = + \infty $$	$$ \frac{ -k }{ 0 } = - \infty $$
$$ \frac{ 0 }{ k } = 0 $$	$$ \frac{ 0 }{ -k } = 0 $$
$$ (\pm k)^0 = 1 $$	$$ 0^{\pm k} = 0 $$
$$ 1^{\pm k} = 1 $$	$$ (\pm k)^1 = (\pm k) $$
$$ +\infty^0 = ? $$	$$ -\infty^0 = ? $$
$$ 0^{+\infty} = 0 $$	$$ 0^{-\infty} = 0 $$

Avec $ k > 0 $ une constante réelle non nulle positive

Les ? représentent des formes indéterminées

Question 3

Quelles sont les formes indéterminées ?

Answer

Les formes d'indétermination qui apparaissent lors des calculs de limites sont :

$$ \frac{0}{0} $$	0 divisé par 0
$$ \frac{\pm\infty}{\pm\infty} $$	infini divisé par infini
$$ 0 \times \pm\infty $$ ou $$ \pm\infty \times 0 $$	0 fois infini
$$ +\infty - \infty $$ ou $$ -\infty + \infty $$	difference entre infini
$$ 0^0 $$	0 exposant 0
$$ \pm\infty^0 $$	infini exposant 0
$$ 1^{\pm\infty}$$	1 exposant infini

Question 4

Comment calculer une forme indéterminée ?

Answer

Plusieurs méthodes liées aux calculs de limites sont possibles.

1 - Factoriser (en utilisant les outils de factorisation mathématique de dCode par exemple)

2 - Utiliser la règle de l'Hopital (dans les cas de forme $ 0/0 $ ou $ \infty / \infty $: si $ f $ et $ g $ sont 2 fonctions définies sur l'intervalle $ [a,b[ $ et dérivables en $ a $, et telles que $ f(a)=g(a)=0 $, alors si $ g'(a) \ne 0 $ : $$ \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f' (a)}{g' (a)} $$

3 - Utiliser le théorème du plus haut degré (dans le cas d'addition de polynomes et lorsque la variable tend vers l'infini) : la limite d'un polynome est la limite de son terme de plus haut degré.

4 - Calculer les asymptotes pour en déduire les valeurs limites

5 - Transformer l'expression (en utilisant des identités remarquables ou sortir des éléments des racines, etc.)

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Réponses aux Questions

Comment calculer une limite ?

Comment faire des calculs de limite avec 0 et l'infini \( \infty \) ?

Quelles sont les formes indéterminées ?

Comment calculer une forme indéterminée ?

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