Herramienta para calcular límites de funciones matemáticas. Un límite se define por el valor de una función cuando su variable se acerca a un valor dado.
Límite de Función - dCode
Tag(s) : Functions
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Límite de Función
Calculadora de límites
Answers to Questions (FAQ)
¿Cómo calcular un límite?
Para calcular el límite de una función, reemplace la variable por el valor hacia el cual tiende / se acerca (en el vecindario cercano).
Ejemplo: Calcular el límite de $ f(x) = 2x $ cuando $ x $ tiende a $ 1 $ se escribe $ \lim_{x \to 1} f(x) $ y equivale a calcular $ 2 \times 1 = 2 $ so $ \lim_{x \to 1} f(x) = 2 $.
En algunos casos, el resultado es indeterminado (ver más abajo) y puede significar una asíntota.
¿Cómo calcular los límites con 0 y $ \infty $ infinito?
Los cálculos de límite generalmente muestran formas matemáticas usando los valores 0 e infinito (positivo o negativo), pero a excepción de la forma indeterminada, los cálculos siguen las siguientes reglas:
| $$ +\infty + \infty = +\infty $$ | $$ -\infty - \infty = -\infty $$ |
| $$ +\infty - \infty = ? $$ | $$ -\infty + \infty = ? $$ |
| $$ 0 + \infty = +\infty $$ | $$ 0 - \infty = -\infty $$ |
| $$ + \infty + 0 = +\infty $$ | $$ - \infty + 0 = -\infty $$ |
| $$ \pm k + \infty = +\infty $$ | $$ \pm k - \infty = -\infty $$ |
| $$ + \infty \pm k = +\infty $$ | $$ - \infty \pm k = -\infty $$ |
| $$ +\infty \times +\infty = +\infty $$ | $$ +\infty \times -\infty = -\infty $$ |
| $$ -\infty \times +\infty = -\infty $$ | $$ -\infty \times -\infty = +\infty $$ |
| $$ 0 \times +\infty = ? $$ | $$ 0 \times -\infty = ? $$ |
| $$ +\infty \times 0 = ? $$ | $$ -\infty \times 0 = ? $$ |
| $$ k \times +\infty = +\infty $$ | $$ k \times -\infty = -\infty $$ |
| $$ -k \times +\infty = -\infty $$ | $$ -k \times -\infty = +\infty $$ |
| $$ \frac{ +\infty }{ +\infty } = ? $$ | $$ \frac{ +\infty }{ -\infty } = ? $$ |
| $$ \frac{ -\infty }{ +\infty } = ? $$ | $$ \frac{ -\infty }{ -\infty } = ? $$ |
| $$ \frac{ 0 }{ +\infty } = 0 $$ | $$ \frac{ 0 }{ -\infty } = 0 $$ |
| $$ \frac{ +\infty }{ 0 } = +\infty $$ | $$ \frac{ -\infty }{ 0 } = -\infty $$ |
| $$ \frac{ +\infty }{ k } = +\infty $$ | $$ \frac{ -\infty }{ k } = -\infty $$ |
| $$ \frac{ +\infty }{ - k } = -\infty $$ | $$ \frac{ -\infty }{ - k } = +\infty $$ |
| $$ \frac{ k }{ +\infty } = 0^+ $$ | $$ \frac{ k }{ -\infty } = 0^- $$ |
| $$ \frac{ -k }{ +\infty } = 0^- $$ | $$ \frac{ -k }{ -\infty } = 0^+ $$ |
| $$ \frac{ 0 }{ 0 } = ? $$ | $$ \frac{ k }{ k } = 1 $$ |
| $$ \frac{ k }{ 0 } = + \infty $$ | $$ \frac{ -k }{ 0 } = - \infty $$ |
| $$ \frac{ 0 }{ k } = 0 $$ | $$ \frac{ 0 }{ -k } = 0 $$ |
| $$ (\pm k)^0 = 1 $$ | $$ 0^{\pm k} = 0 $$ |
| $$ 1^{\pm k} = 1 $$ | $$ (\pm k)^1 = (\pm k) $$ |
| $$ +\infty^0 = ? $$ | $$ -\infty^0 = ? $$ |
| $$ 0^{+\infty} = 0 $$ | $$ 0^{-\infty} = 0 $$ |
Con $ k > 0 $ una constante real positiva distinta de cero
Los ? representan formas indeterminadas
¿Cuáles son las formas indeterminadas?
Las formas de indeterminación que aparecen durante los cálculos de límite son:
| $$ \frac{0}{0} $$ | 0 dividido por 0 |
| $$ \frac{\pm\infty}{\pm\infty} $$ | infinito dividido por infinito |
| $$ 0 \times \pm\infty $$ or $$ \pm\infty \times 0 $$ | 0 veces infinito |
| $$ +\infty - \infty $$ or $$ -\infty + \infty $$ | diferencia entre infinitos |
| $$ 0^0 $$ | 0 exponente 0 |
| $$ \pm\infty^0 $$ | infinito exponente 0 |
| $$ 1^{\pm\infty} $$ | 1 exponente infinito |
¿Cómo calcular una forma indeterminada?
Son posibles varios métodos relacionados con los cálculos de límite.
1 - Factorizar (usando las herramientas de factorización matemática de dCode por ejemplo)
2 - Usar la regla del Hospital (en los casos de la forma $ 0/0 $ o $ \infty / \infty $: si $ f $ y $ g $ son 2 funciones definidas en el intervalo $ [a,b[ $ y diferenciable en $ a $, y tal que $ f(a) = g(a) = 0 $, entonces si $ g'(a) \ne 0 $ : $$ \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f' (a)}{g' (a)} $$
3 - Usar el teorema del grado más alto (en el caso de la adición de polinomios y cuando la variable tiende al infinito): el límite de un polinomio es el límite de su término de grado más alto.
4 - Calcular las asíntotas para deducir los valores límite
5 - Transformar la expresión (usando identidades notables o saliendo de elementos raíz, etc.)
¿Cómo calcular los límites de funciones trigonométricas como seno y coseno?
Las funciones seno y coseno, tendientes a $ \pm \infty $, no admiten límite porque son periódicas (reproducen un patrón infinito) y por lo tanto no tienden hacia un valor finito, ni hacia un infinito. Su límite es indefinido, pero a veces se indica $ \pm 1 $ (no recomendado).
¿Cómo mostrar los pasos del cálculo?
El cálculo del límite de dCode no aplica métodos escolares sino un cálculo bit a bit, por lo que los pasos de cálculo son muy diferentes y no se muestran.
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