Outil pour trouver les équations des asymptotes (horizontale, verticale, oblique) d'une fonction. Les asymptotes sont des droites qui tendent (similaire à une tangente) vers la fonction à l'infini.
Asymptote d'une Fonction - dCode
Catégorie(s) : Fonctions
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Outil pour trouver les équations des asymptotes (horizontale, verticale, oblique) d'une fonction. Les asymptotes sont des droites qui tendent (similaire à une tangente) vers la fonction à l'infini.
Une fonction $ f(x) $ a une asymptote horizontale $ y = a $ si
$$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=a \mbox{ ou } \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)=a \mbox{ (ou les deux)} $$
Pour trouver une asymptote horizontale, le calcul de cette limite est une condition suffisante.
Exemple : $ 1/x $ a comme asymptote $ y=0 $ car $ \lim\limits_{x \rightarrow \infty} 1/x = 0 $
Il ne peut pas y avoir plus de 2 asymptotes horizontales.
Une fonction $ f(x) $ a une asymptote verticale $ x=a $ si elle admet une limite infinie en $ a $ ($ f $ tend vers l'infini).
$$ \lim\limits_{x \rightarrow \pm a} f(x)=\pm \infty $$
Pour trouver une asymptote horizontale, le calcul de cette limite est une condition suffisante.
Exemple : $ 1/x $ a comme asymptote $ x=0 $ car $ \lim\limits_{x \rightarrow 0} 1/x = \infty $
Généralement, la fonction n'est pas définie en $ a $, une analyse du domaine de la fonction est nécessaire pour trouver des asymptotes potentielles.
Il peut y avoir un nombre infini d'asymptotes verticales.
Pour une fonction rationnelle (avec une fraction numérateur sur dénominateur), les valeurs pour lesquelles le dénominateur s'annule sont des asymptotes.
Une fonction $ f(x) $ a une asymptote oblique $ g(x)=ax+b $ lorsque
$$ \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \left( f(x)-g(x)= 0 \right) $$
Le calcul d'asymptote oblique parfois peut être simplifié en cherchant cette limite :
$$ \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \left( \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \right) $$
Pour une fonction rationnelle appliquer une division polynomiale permet de trouver une asymptote oblique.
Une fonction $ f(x) $ a une asymptote non linéaire $ g(x) $ lorsque
$$ \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \left( f(x)-g(x)= 0 \right) $$
Le principe est le même que pour une asymptote oblique.
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