Asymptote d'une Fonction

Une fonction $ f(x) $ a une asymptote horizontale $ y = a $ si

$$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=a \mbox{ ou } \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)=a \mbox{ (ou les deux)} $$

Pour trouver une asymptote horizontale, le calcul de cette limite est une condition suffisante.

Exemple : $ 1/x $ a comme asymptote $ y=0 $ car $ \lim\limits_{x \rightarrow \infty} 1/x = 0 $

Il ne peut pas y avoir plus de 2 asymptotes horizontales.

Une fonction $ f(x) $ a une asymptote verticale $ x=a $ si elle admet une limite infinie en $ a $ ($ f $ tend vers l'infini).

$$ \lim\limits_{x \rightarrow \pm a} f(x)=\pm \infty $$

Pour trouver une asymptote horizontale, le calcul de cette limite est une condition suffisante.

Exemple : $ 1/x $ a comme asymptote $ x=0 $ car $ \lim\limits_{x \rightarrow 0} 1/x = \infty $

Généralement, la fonction n'est pas définie en $ a $, une analyse du domaine de la fonction est nécessaire pour trouver des asymptotes potentielles.

Il peut y avoir un nombre infini d'asymptotes verticales.

Pour une fonction rationnelle (avec une fraction numérateur sur dénominateur), les valeurs pour lesquelles le dénominateur s'annule sont des asymptotes.

Une fonction $ f(x) $ a une asymptote oblique $ g(x)=ax+b $ lorsque

$$ \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \left( f(x)-g(x)= 0 \right) $$

Le calcul d'asymptote oblique parfois peut être simplifié en cherchant cette limite :

$$ \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \left( \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \right) $$

Pour une fonction rationnelle appliquer une division polynomiale permet de trouver une asymptote oblique.

Une fonction $ f(x) $ a une asymptote non linéaire $ g(x) $ lorsque

$$ \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \left( f(x)-g(x)= 0 \right) $$

Le principe est le même que pour une asymptote oblique.