Asymptote d'une Fonction

Une fonction \( f(x) \) a une asymptote horizontale \( y=a \) si $$ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=a \mbox{ ou } \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)=a \mbox{ (ou les deux)}$$

Exemple : \( 1/x \) a comme asymtote \( y=0 \) car \( \lim\limits_{x \rightarrow \infty} 1/x = 0 \)

Il ne peut pas y avoir plus de 2 asymptotes horizontales.

Une fonction \( f(x) \) a une asymptote verticale \( x=a \) si elle admet une limite infinie en \( a \).

$$ \lim\limits_{x \rightarrow \pm a} f(x)=\pm \infty $$

Exemple : \( 1/x \) a comme asymtote \( x=0 \) car \( \lim\limits_{x \rightarrow 0} 1/x = \infty \)

Généralement, la fonction n'est pas définie en \( a \), une analyse du domaine de la fonction est nécessaire pour trouver des asymptotes potentielles.

Il peut y avoir un nombre infini d'asymptotes verticales.

Une fonction \( f(x) \) a une asymptote oblique \( g(x)=ax+b \) lorsque

$$ \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \left( f(x)-g(x)= 0 \right) $$

Le calcul parfois peut être simplifié en cherchant cette limite :

$$ \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \left( \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \right) $$

Une fonction \( f(x) \) a une asymptote non linéaire \( g(x) \) lorsque

$$ \lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty} \left( f(x)-g(x)= 0 \right) $$

Le principe est le même que pour une asymptote oblique.