Outil pour calculer une matrice de changement de base (de passage) selon une homothétie ou une rotation dans un espace vectoriel et calculs de changement de coordonnées.
Matrice de Passage - dCode
Catégorie(s) : Matrice
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La matrice de passage est la matrice permettant un calcul de changement de coordonnées selon une homothétie ou une rotation dans un espace vectoriel.
A partir d'une matrice de passage $ P $ (aussi appelée matrice de changement de base), tout vecteur $ v $ devient alors le vecteur $ v' $ dans la nouvelle base par le calcul (produit scalaire/matriciel) $$ v' = P.v $$
Exemple : $ \begin{bmatrix} v_1' \\ v_2' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} $
A partir d'un angle de rotation $ \alpha $ (sens trigonométrique) et d'un axe, la matrice de rotation s'écrit sous la forme (rotation autour de l'axe $ z $) $$ \begin {bmatrix} \cos \alpha & - \sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ \end{bmatrix} $$
A partir de 2 vecteurs (celui d'origine et celui de destination), il est possible de générer un système d'équation à résoudre pour retrouver les valeurs de $ \alpha $ et du ou des axes.
A partir de la valeur du facteur d'homothétie $ k $ (homothétie supposée uniforme dans tout l'espace vectoriel de taille $ n $), la matrice de passage est donnée par la formule $ k.I_n $ (avec $ I_n $ la matrice identité).
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Citer comme source bibliographique :
Matrice de Passage sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 04/12/2024,