Intervalle de Confiance d'un Sondage

Définition : un intervalle de confiance est une borne inférieure et supérieure délimitant une marge d'erreur pour les résultats bruts d'un sondage. L'intervalle de confiance évalue la qualité et la précision de l'estimation obtenue avec l'échantillon interrogé.

Cet intervalle s'applique sur tous les types de sondage/échantillonnage (questionnaire, micro-trottoir, sondage en ligne) afin d'évaluer la marque de confiance qui lui est attribuable.

L'intervalle dépend surtout du nombre de personne intérrogé, si un sondage possède plusieurs questions et que le nombre de réponses obtenues diffère pour chaque question, alors l'intervalle de confiance devra se calculer pour chaque question. A l'inverse, si toutes les questions ont le même nombre de répondants, alors l'intervalle de confiance est le même pour toutes les questions, et donc pour la globalité du sondage.

La fréquence observée dans un échantillon est généralement notée $ f $ et la probabilité dans la population totale est notée $ p $, ces valeurs sont souvent confondues.

Pour un sondage de $ N $ personnes ayant pour résultat la fréquence $ f $ et la probabilité $ p $, alors l'intervalle de confiance à 95% est $$ \left[p-1.96\frac{\sqrt{f(1-p)}}{\sqrt n},p+1.96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\right] $$

Avec 1.96 la valeur du 2.5 percentile de la distribution normale (pour 99%, la valeur serait 2.58).

Afin de réduire/améliorer un intervalle de confiance, il convient d'augmenter $ N $ (le nombre d'éléments ou de personnes participant au sondage).

La valeur 1.96 est approximative, mais généralement suffisante pour la majorité des calculs appliqués, cependant, une valeur plus précise serait 1.95996 (5 chiffres) ou 1.9599639845 (10 chiffres). Idem pour 2.58 qui est un arrondi pour 2.57583 (5 chiffres) ou 2.5758293035 (10 chiffres).

La valeur exacte est $ \sqrt{2} \operatorname{erf}^{-1}(95/100) $ pour 95%, avec la fonction d'erreur inverse $ \operatorname{erf}^{-1}(\operatorname{erf}(x)) = x $ et $ \operatorname{erf}(x) $ la fonction d'erreur.

Lorsque la probabilité est proche de 0, le calcul de l'intervalle de confiance peut mener à des probabilités hors de l'intervalle $ [0,1] $ ce qui est impossible. Une règle est d'utiliser comme limite la valeur $ 3 / N $.