Outil pour réaliser des calculs de probabilités sur des tirages d'objets (boules, billes, cartes, etc.) dans une urne (boite, sac, tiroir, tas, etc.) avec et sans remise.
Probabilité de Tirages - dCode
Catégorie(s) : Combinatoire
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Outil pour réaliser des calculs de probabilités sur des tirages d'objets (boules, billes, cartes, etc.) dans une urne (boite, sac, tiroir, tas, etc.) avec et sans remise.
Soit un ensemble de $ N $ objets dont $ m $ sont différents (discernables). La probabilité de tirer au sort un total de $ n $ objets et que parmi ces $ n $ objets il y a $ k $ objets qui font partie des $ m $ différents est donné par une loi hypergéométrique : $$ p(X=k)=\frac{C_{m}^kC_{N-m}^{n-k}}{C_N^n} = \frac{ \binom{m}{k} \binom{N-m}{n-k} }{ \binom{N}{n} } $$
$ C $ représente l'opérateur de combinaisons.
Exemple : Probabilité de tirer $ k=5 $ cartes rouges parmi les $ m=26 $ cartes rouges dans un paquet contenant $ N=52 $ cartes en tirant $ n=5 $ cartes.
Exemple : Probabilité de tirer toutes les $ k=3 $ boules noires dans une urne contenant $ N=25 $ boules dont $ m=3 $ sont noires, en tirant $ n=3 $ boules.
La probabilité d'avoir tiré aucune fois un élément précis parmi $ N $ objets au bout de $ n $ tirages aléatoires est donné par la formule $$ \left(1-\frac{1}{N}\right)^n $$
La probabilité d'avoir tiré au moins une fois un élément précis parmi $ N $ objets au bout de $ n $ tirages aléatoires est donné par la formule $$ 1-\left(1-\frac{1}{N}\right)^n $$
La probabilité d'avoir tiré tous les $ N $ objets (discernables ou indiscernables) au bout de $ n $ tirages aléatoires est donné par la formule $$ \sum_{i=0}^N (-1)^{N-i}{\binom{N}{i}}\left(\frac{i}{N}\right)^n $$
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