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Probabilité de Tirages

Outil pour réaliser des calculs de probabilités sur des tirages d'objets (boules, billes, cartes, etc.) dans une urne (boite, sac, tiroir, tas, etc.) avec et sans remise.

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Probabilité de Tirages -

Catégorie(s) : Combinatoire

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Probabilité de Tirages

Probabilités lors d'un Tirage sans Remise

Exemple : Calcul de la probabilité d'avoir tiré un ensemble de n=10 billes dont k=3 rouges (donc 7 ne sont pas rouges) dans un sac contenant un total initial de N=52 billes dont m=20 étaient rouges.









Probabilités lors de plusieurs tirages

Exemple : Calcul de la probabilité d'avoir tiré au moins une fois la carte As♠ au bout de 100 tirages répétés (avec remise) dans un jeu de 52 cartes.









Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'une probabilité de tirage ? (Définition)

En combinatoire, les tirages au sort permettent d'évaluer des probabilités statistiques de sélection d'un sous-ensemble d'objets (billes, cartes, etc.) parmi un ensemble total.

Les modèles mathématiques permettent de prédire la répartition des tirages sans avoir à les réaliser.

La simulation n'est pas nécessaire, les formules mathématiques donnent des résultats exacts.

Comment calculer une probabilité de tirage sans remise ?

Soit un ensemble de $ N $ objets dont $ m $ sont différents (discernables). La probabilité de tirer au sort un total de $ n $ objets et que parmi ces $ n $ objets il y a $ k $ objets qui font partie des $ m $ différents est donné par une loi hypergéométrique : $$ p(X=k)=\frac{C_{m}^kC_{N-m}^{n-k}}{C_N^n} = \frac{ \binom{m}{k} \binom{N-m}{n-k} }{ \binom{N}{n} } $$

$ C $ représente l'opérateur de combinaisons.

Exemple : Probabilité de tirer $ k=5 $ cartes rouges parmi les $ m=26 $ cartes rouges dans un paquet contenant $ N=52 $ cartes en tirant $ n=5 $ cartes.

Exemple : Probabilité de tirer toutes les $ k=3 $ boules noires dans une urne contenant $ N=25 $ boules dont $ m=3 $ sont noires, en tirant $ n=3 $ boules.

Comment calculer une probabilité de tirage avec remise ?

La probabilité d'avoir tiré aucune fois un élément précis parmi $ N $ objets au bout de $ n $ tirages aléatoires est donné par la formule $$ \left(1-\frac{1}{N}\right)^n $$

La probabilité d'avoir tiré au moins une fois un élément précis parmi $ N $ objets au bout de $ n $ tirages aléatoires est donné par la formule $$ 1-\left(1-\frac{1}{N}\right)^n $$

La probabilité d'avoir tiré tous les $ N $ objets (discernables ou indiscernables) au bout de $ n $ tirages aléatoires est donné par la formule $$ \sum_{i=0}^N (-1)^{N-i}{\binom{N}{i}}\left(\frac{i}{N}\right)^n $$

Code source

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