Outil pour réaliser des calculs de probabilités sur des tirages d'objets (boules, billes, cartes, etc.) dans une urne (boite, sac, tiroir, tas, etc.) avec et sans remise.
Probabilité de Tirages - dCode
Catégorie(s) : Combinatoire
dCode est gratuit et ses outils sont une aide précieuse dans les jeux, les maths, les énigmes, les géocaches, et les problèmes à résoudre au quotidien !
Une suggestion ? un problème ? une idée ? Ecrire à dCode !
En combinatoire, les tirages au sort permettent d'évaluer des probabilités statistiques de sélection d'un sous-ensemble d'objets (billes, cartes, etc.) parmi un ensemble total.
Les modèles mathématiques permettent de prédire la répartition des tirages sans avoir à les réaliser.
La simulation n'est pas nécessaire, les formules mathématiques donnent des résultats exacts.
Soit un ensemble de $ N $ objets dont $ m $ sont différents (discernables). La probabilité de tirer au sort un total de $ n $ objets et que parmi ces $ n $ objets il y a $ k $ objets qui font partie des $ m $ différents est donné par une loi hypergéométrique : $$ p(X=k)=\frac{C_{m}^kC_{N-m}^{n-k}}{C_N^n} = \frac{ \binom{m}{k} \binom{N-m}{n-k} }{ \binom{N}{n} } $$
$ C $ représente l'opérateur de combinaisons.
Exemple : Probabilité de tirer $ k=5 $ cartes rouges parmi les $ m=26 $ cartes rouges dans un paquet contenant $ N=52 $ cartes en tirant $ n=5 $ cartes.
Exemple : Probabilité de tirer toutes les $ k=3 $ boules noires dans une urne contenant $ N=25 $ boules dont $ m=3 $ sont noires, en tirant $ n=3 $ boules.
La probabilité d'avoir tiré aucune fois un élément précis parmi $ N $ objets au bout de $ n $ tirages aléatoires est donné par la formule $$ \left(1-\frac{1}{N}\right)^n $$
La probabilité d'avoir tiré au moins une fois un élément précis parmi $ N $ objets au bout de $ n $ tirages aléatoires est donné par la formule $$ 1-\left(1-\frac{1}{N}\right)^n $$
La probabilité d'avoir tiré tous les $ N $ objets (discernables ou indiscernables) au bout de $ n $ tirages aléatoires est donné par la formule $$ \sum_{i=0}^N (-1)^{N-i}{\binom{N}{i}}\left(\frac{i}{N}\right)^n $$
dCode se réserve la propriété du code source pour "Probabilité de Tirages". Sauf code licence open source explicite (indiqué Creative Commons / gratuit), l'algorithme pour "Probabilité de Tirages", l'applet ou snippet (convertisseur, solveur, chiffrement / déchiffrement, encodage / décodage, encryptage / décryptage, traducteur) ou les fonctions liées à "Probabilité de Tirages" (calculer, convertir, résoudre, décrypter / encrypter, déchiffrer / chiffrer, décoder / encoder, traduire) codés en langage informatique (Python, Java, C#, PHP, Javascript, Matlab, etc.) ou les données, en téléchargement, script, ou les accès API à "Probabilité de Tirages" ne sont pas publics, idem pour un usage hors ligne, PC, tablette, appli iPhone ou Android !
Le copier-coller de la page "Probabilité de Tirages" ou de ses résultats est autorisée tant que vous citez la source en ligne
Rappel : dCode est gratuit.