Probabilité de Tirages

En combinatoire, les tirages au sort permettent d'évaluer des probabilités statistiques de sélection d'un sous-ensemble d'objets (billes, cartes, etc.) parmi un ensemble total.

Les modèles mathématiques permettent de prédire la répartition des tirages sans avoir à les réaliser.

La simulation n'est pas nécessaire, les formules mathématiques donnent des résultats exacts.

Soit un ensemble de $ N $ objets dont $ m $ sont différents (discernables). La probabilité de tirer au sort un total de $ n $ objets et que parmi ces $ n $ objets il y a $ k $ objets qui font partie des $ m $ différents est donné par une loi hypergéométrique : $$ p(X=k)=\frac{C_{m}^kC_{N-m}^{n-k}}{C_N^n} = \frac{ \binom{m}{k} \binom{N-m}{n-k} }{ \binom{N}{n} } $$

$ C $ représente l'opérateur de combinaisons.

La probabilité d'avoir tiré aucune fois un élément précis parmi $ N $ objets au bout de $ n $ tirages aléatoires est donné par la formule $$ \left(1-\frac{1}{N}\right)^n $$

La probabilité d'avoir tiré au moins une fois un élément précis parmi $ N $ objets au bout de $ n $ tirages aléatoires est donné par la formule $$ 1-\left(1-\frac{1}{N}\right)^n $$

La probabilité d'avoir tiré tous les $ N $ objets (discernables ou indiscernables) au bout de $ n $ tirages aléatoires est donné par la formule $$ \sum_{i=0}^N (-1)^{N-i}{\binom{N}{i}}\left(\frac{i}{N}\right)^n $$