Outil pour réaliser des calculs de proba sur des tirages. Le calcul des probabilités de tirage d'objets (boules, billes, cartes, etc.) dans une urne (boite, sac, tiroir, tas, etc.) avec et sans remise est un exercice courant en probabilité.
Probabilité de Tirages - dCode
Catégorie(s) : Combinatoire
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Probabilité de Tirages
Probabilités lors d'un Tirage sans Remise
Probabilités lors de plusieurs tirages
Probabilité lors d'un Tirage avec Remise
Outil pour réaliser des calculs de proba sur des tirages. Le calcul des probabilités de tirage d'objets (boules, billes, cartes, etc.) dans une urne (boite, sac, tiroir, tas, etc.) avec et sans remise est un exercice courant en probabilité.
Réponses aux Questions
Comment calculer une probabilité de tirage sans remise ?
Soit un ensemble de \( N \) objets dont \( m \) sont différents (discernables). La probabilité de tirer au sort un total de \( n \) objets et que parmi ces \( n \) objets il y a \( k \) objets qui font partie des \( m \) différents est donné par une loi hypergéométrique : $$ p(X=k)=\frac{C_{m}^kC_{N-m}^{n-k}}{C_N^n} = \frac{ \binom{m}{k} \binom{N-m}{n-k} }{ \binom{N}{n} } $$
\( C \) représente l'opérateur de combinaisons.
Exemple : Probabilité de tirer \( k=5 \) cartes rouges parmi les \( m=26 \) cartes rouges dans un paquet contenant \( N=52 \) cartes en tirant \( n=5 \) cartes.
Exemple : Probabilité de tirer toutes les \( k=3 \) boules noires dans une urne contenant \( N=25 \) boules dont \( m=3 \) sont noires, en tirant \( n=3 \) boules.
Comment calculer une probabilité de tirage avec remise ?
La probabilité d'avoir tiré aucune fois un élément précis parmi \( N \) objets au bout de \( n \) tirages aléatoires est donné par la formule $$ \left(1-\frac{1}{N}\right)^n $$
La probabilité d'avoir tiré au moins une fois un élément précis parmi \( N \) objets au bout de \( n \) tirages aléatoires est donné par la formule $$ 1-\left(1-\frac{1}{N}\right)^n $$
La probabilité d'avoir tiré tous les \( N \) objets (discernables ou indiscernables) au bout de \( n \) tirages aléatoires est donné par la formule $$ \sum_{i=0}^N (-1)^{N-i}{\binom{N}{i}}\left(\frac{i}{N}\right)^n $$
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