Moyenne Harmonique

Etant donné une liste $ X $ de $ n $ nombres $ \{a_1, a_2, \dots, a_n\} $. La moyenne harmonique est définie par la division de $ n $ par la somme des inverses des nombres :

$$ \bar{X}_{harm} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}} $$

Pour calculer une moyenne harmonique d'une liste de valeurs, dénombrer le nombre total $ n $ de valeurs dans la liste et calculer la somme $ S $ des inverses des valeurs.

Exemple : Une voiture a roulé sur une distance $ d $ à 30km/h la moitié de la distance puis à 90km/h. La vitesse moyenne de la voiture peut se définir avec sa vitesse harmonique par le calcul $ n/S $ avec $ n = 2 $ et $ S = 1/30 + 1/90 = 0.0444... $ soit $ \bar{M}_{harm} = 2/(1/30+1/90) = 45 $ km/h.
En effet, en prenant comme distance $ d = 15km $, la voiture aura parcouru $ d/2 $ à 30km/h en 15 minutes et $ d/2 $ à 90km/h en 5 minutes donc une distance de 15km en 20 minutes soit 45km/h en moyenne.

La moyenne harmonique est utilisée lors que les éléments comparés ont des rapports de proportionnalité inverses.

Exemple : Le prix au mètre carré d'une maison est plus élevé si la surface totale est petite.

Exemple : Une durée de trajet est plus courte lorsque la vitesse est élevée.

Exemple : Sur un circuit électronique, le calcul de deux résistances en parallèle correspond à la moyenne harmonique des 2 valeurs de résistance

La série harmonique est la suite des inverses des entiers naturels non nuls notée $ H_n $

$$ H_n = 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \cdots + \frac1n = \sum_{k=1}^n \frac1k $$