Moyenne Harmonique

Etant donné une liste de \( n \) nombres \( M = \{a_1, a_2, \dots, a_n\} \). La moyenne harmonique est définie par la division de \( n \) par la somme des inverses des nombres. $$ \bar{M}_{harm} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}} $$

Pour calculer une moyenne harmonique d'une liste de valeurs, dénombrer le nombre total \( n \) de valeurs dans la liste et calculer la somme \( S \) des inverse des valeurs.

Exemple : Une voiture a roulé sur une distance \( d \) à 30km/h la moitié de la distance puis à 90km/h. La vitesse moyenne de la voiture peut se définir avec sa vitesse harmonique par le calcul \( n/S \) avec \( n = 2 \) et \( S = 1/30 + 1/90 = 0.0444... \) soit \( \bar{M}_{harm} = 2/(1/30+1/90) = 45 \) km/h.
En effet, en prenant comme distance \( d = 15km \), la voiture aura parcouru \( d/2 \) à 30km/h en 15 minutes et \( d/2 \) à 90km/h en 5 minutes donc une distance de 15km en 20 minutes soit 45km/h en moyenne.

La moyenne harmonique est utilisée lors que les éléments comparés ont des rapports de proportionnalité inverses.

Exemple : Le prix au mètre carré d'une maison est plus élevé si la surface totale est petite.

Exemple : Une durée de trajet est plus court lors si la vitesse est élevée.

Exemple : Sur un circuit électronique, le calcul de deux résistances en parallèle correspond à la moyenne harmonique des 2 valeurs de résistance