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Expansion de Cantor

Outil pour calculer l'expansion de Cantor (Cantor expansion en anglais) d'un nombre, grace à sa représentation en base factorielle.

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Expansion de Cantor -

Catégorie(s) : Arithmétique

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Expansion de Cantor

Calcul d'Expansion de Cantor


Voir aussi : Base Factorielle

Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'une expansion de Cantor ? (Définition)

L'expansion de Cantor (Cantor Expansion en anglais) d'un entier naturel $ n $ est une somme de la forme $$ n = (k_m)m! + (k_{m-1})(m-1)! + \cdots + k_{2}2! + k_{1}1! $$ avec $ k_i $ des entiers tels que $ 0 \leq k_i \leq i $

Exemple : 12 = 2*3! + 0*2! + 0*1!

Il s'agit de la somme explicite de la base factorielle du nombre $ n $.

Comment calculer l'expansion de Cantor d'un nombre ?

Commencer par convertir le nombre en base factorielle (en effectuant des divisions successives de $ n $ par $ i $ pour les nombres de $ 1 $ à $ n $, tant que le quotient de la division euclidienne est non nul) et faire la somme des chiffres (en base factorielle) obtenus en les mutipliant par la factorielle correspondante.

Exemple : En base 10, $ 123 $ se décompose en $ 1 \times 100 + 2 \times 10 + 3 \times 1 $

Exemple : En base factorielle, $ 234_{10} = 14300_{!} = 1 \times 5! + 4 \times 4! + 3 \times 3! + 0 \times 2! + 0*1! $

Quel est l'algorithme de l'expansion de Cantor ?

Pour programmer la conversion d'un nombre décimal en base factorielle, voici un algorithme :function decimal2cantor(x) {
n = 1
a = []
while (x != 0) {
a[n] = x mod (n+1)
x = (x-a[n])/(n+1)
n++
}
return a[n]
}

L'expansion de Cantor pourra se déduire par a[n]*n! + a[n−1]*(n-1)! + ... + a[2]*2! + a[1]*1!

Pour programmer la conversion d'un nombre écrit en base factorielle en un nombre décimal, voici un algorithme : function cantor2decimal(a[n]) {
x = 0
for i=n to 1 {
x = x + a[i]
x = i*x
}
return x
}

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