Chiffre Affine

Le chiffrement affine est une méthode de substitution monoalphabétique où chaque lettre du texte clair est remplacée par une autre lettre selon une fonction affine de la forme $ f(x) = A \times x + B \mod 26 $.

$ A $ et $ B $ sont deux entiers qui forment la clé de chiffrement, et $ 26 $ correspond à la longueur de l'alphabet latin standard.

Pour encoder un message avec le chiffrement affine :

1/ Associer à chaque lettre du texte clair sa position numérique $ x $ dans l'alphabet. Par défaut, $ A=0, B=1, \dots, Z=25 $, il est possible (mais déconseillé) d'utiliser $ A=1, \dots, Y=25, Z=0 $ en prenant l'alphabet ZABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXY

2/ Appliquer la fonction affine $ y = (A \times x + B) \mod 26 $ pour obtenir la position $ y $ de la lettre chiffrée.

3/ Remplacer chaque lettre du texte clair par la lettre correspondant à $ y $ dans l'alphabet.

Pour décoder un message chiffré par Affine :

1/ Calculer l'inverse modulaire $ A' $ de $ A $ modulo $ 26 $

2/ Pour chaque lettre chiffrée de position $ y $, calculer $ x = A' \times (y - B) \mod 26 $

3/ Remplacer chaque lettre chiffrée par la lettre correspondant à $ x $ dans l'alphabet.

Un message chiffré par Affine a un indice de coincidence proche de celui de la langue du texte clair.

Toute référence à une fonction affine (en ligne droite), un graphique, une abscisse ou une ordonnée est un indice (la fonction $ f(x) = ax + b $ peut être représentée dans un repère orthonormé comme une fonction affine classique, il est donc possible à partir d'un graphe de retrouver le coefficient directeur $ a $ et l'ordonnée à l'origine $ b $).

Les chiffres affines regroupent en fait plusieurs chiffrements qui sont des cas particuliers :

— Le chiffre multiplicatif (multiplicative cipher) est un cas particulier du chiffre Affine où B vaut 0.

— Le chiffre de César est un cas particulier du chiffre Affine où A vaut 1 et B est le décalage.

Le chiffre affine est lui-même un cas particulier du chiffrement de Hill, qui utilise une matrice inversible, plutot qu'une équation de droite, pour générer l'alphabet de substitution.

Sans connaitre les coefficients $ A $ et $ B $, utiliser une attaque par brute-force. En supposant que l'alphabet fait 26 caractères, alors le coefficient $ A $ ne peut prendre que 12 valeurs (les nombres premiers avec 26) et le coefficient $ B $ ne peut prendre que 16 valeurs, soit un total de 312 combinaisons.

En connaissant des lettres du texte clair, il est possible de tracer les lettres claires/chiffrées dans un repère orthonormé et d'en déduire $ A $ (la pente) et $ B $ (l'ordonnée à l'origine).

Pour un chiffrement affine de fonction $ y = A x + B $, alors la fonction réciproque de déchiffrement s'exprime $ y' = A' x + B $

Calculer l'inverse modulaire de A, modulo la longueur de l'alphabet (voir ci-après pour les valeurs pré-calculées).

B' a la même valeur que B, pour cette raison, cette variable ne devrait pas s'appeler B' mais B.

La valeur de A' dépend de A mais aussi de la longueur de l'alphabet, si celui-ci est classique, il a 26 caractères. Les valeurs de A' dans ce cas sont les suivantes :

Le théorème de Bezout's indique que $ A' $ n'existe que si $ A $ et $ 26 $ (la longueur de l'alphabet) sont premiers entre eux. Ceci limite $ A $ aux valeurs $ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25 $.

Oui, mais cela rend le déchiffrement non unique : une même lettre chiffrée peut correspondre à plusieurs lettres claires.

Oui, mais toute valeur négative de $ A $ a un équivalent positif modulo 26.

Non, $ B $ peut être n'importe quel entier mais toutes les valeurs de $ B $ modulo 26 (longueur de l'alphabet) sont équivalentes. Ainsi si $ B $ est négative, il existe une valeur de $ B $ positive équivalente.

En mathématiques, une fonction affine est définie par une addition et une multiplication de la variable (souvent $ x $) et s'écrit $ f(x) = ax + b $. Le chiffrement affine est similaire à la fonction $ f $ car elle utilise les valeurs $ a $ et $ b $ comme coefficient et la variable $ x $ est la lettre à chiffrer.

La fonction affine est une fonction linéaire car son graphique est une ligne droite.

Aucune date ni auteur ne sont connus pour le chiffre affine.