Chiffrement Multiplicatif

Le chiffrement multiplicatif (ou Multiplicative Cipher en anglais) est un cas particulier du chiffrement affine.

Dans un chiffrement affine, chaque lettre est transformée par la fonction $ ax + b $, où $ x $ est le rang de la lettre dans l'alphabet (généralement en commençant par $ 0 $) et le calcul est effectué modulo la taille de l'alphabet.

Le chiffrement multiplicatif correspond à la situation où le décalage $ b $ est nul ($ b = 0 $). Il se réduit donc à une simple multiplication du rang par une clé entière $ a $, suivie d'une réduction modulo $ 26 $ (pour l'alphabet latin standard de $ 26 $ lettres).

Le chiffrement multiplicatif utilise une clé $ k $ (un nombre entier) et un alphabet.

A chaque lettre est associée son rang $ c $ dans l'alphabet (en partant de 0).

Pour chaque caractère du message clair, appliquer le calcul suivant :

$$ c \times k \mod 26 $$

($ 26 $ étant le nombre de lettres dans l'alphabet)

Le nombre obtenu indique le rang dans l'alphabet de la lettre chiffrée correspondante.

Le déchiffrement peut se réaliser de 2 manières :

— Mathématiquement, calculer l'inverse modulaire $ k^{-1} $ de la clé modulo 26 et appliquer le calcul pour chaque lettre :

$$ c \times k^{-1} \mod 26 $$

— Par substitution, en effet, lors du chiffrement chaque lettre n'est associée qu'à une seule autre, en calculant toutes les associations possibles (en chiffrant les 26 lettres de l'alphabet) alors il est possible d'en déduire un alphabet de substitution qui servira de table de déchiffrement.

Pour que le chiffrement multiplicatif soit réversible (c'est-à-dire pour qu'un message chiffré puisse être déchiffré sans ambiguïté), il est nécessaire que la clé $ k $ soit première avec la taille de l'alphabet (notée $ m $). Dans le cas de l'alphabet latin standard de $ 26 $ lettres, $ m = 26 $.

La condition premier avec $ 26 $ signifie que $ k $ et $ 26 $ n'ont aucun diviseur commun autre que $ 1 $. Les entiers vérifiant cette propriété sont les nombres $ k $ tels que $ \operatorname{pgcd}(k, 26) = 1 $.

Du fait de la réduction modulo $ 26 $, deux clés qui diffèrent d'un multiple de $ 26 $ produisent exactement le même chiffrement. Par conséquent, l'ensemble des clés distinctes est limité aux résidus modulo $ 26 $ qui sont premiers avec $ 26 $. Le nombre de telles clés distinctes est donné par l'indicatrice d'Euler $ \varphi(26) = 12 $. Ces $ 12 $ valeurs sont : $ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25 $.

La clé $ 1 $ laisse le message inchangé (chiffrement trivial).

La clé $ 25 $ est équivalente à $ -1 \mod 26 $ et produit un chiffrement qui inverse l'ordre de l'alphabet (A→Z, B→Y, C→X, etc.).

Les $ 11 $ autres valeurs (en excluant $ 1 $) constituent les clés effectives du chiffrement multiplicatif non trivial.

Le message est substitution monoalphabétique : chaque lettre du texte clair est remplacée par une unique lettre chiffrée, et cette correspondance est fixe pour toute la durée du message.

L'analyse des fréquences des lettres reste possible et l'indice de coïncidence du texte chiffré est identique à celui du texte clair (la distribution des fréquences est simplement permutée).

Un indice très révélateur est que la lettre A est toujours chiffrée en A. En effet, le rang de A étant $ 0 $, le calcul $ 0 \times k \mod 26 $ donne systématiquement $ 0 $, quelle que soit la clé $ k $.

Pour un alphabet donné, il n'existe que peu de clés possibles.

L'alphabet latin de 26 lettre n'autorise que 11 clés : 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23 et 25 (ce sont les nombres premiers avec 26 et inférieurs à 26).

Le chiffre multiplicatif est une simplification du chiffre Affine.

Le chiffrement multiplicatif n'a que peu d'intéret, mais il est souvent utilisé pour l'apprentissage de l'informatique et des chiffrements.