Nombre de Harshad

Un nombre de Harshad (ou de Niven) est un entier naturel divisible par la somme de ses propres chiffres.

Le terme Harshad provient du sanskrit et signifie qui donne de la joie.

Prendre un nombre $ N $ et calculer la somme de tous ses chiffres.

Vérifier ensuite si la division du nombre par cette somme est un entier (i.e., le reste est nul).

Si c'est le cas, le nombre $ N $ est un nombre de Harshad.

La liste des nombres de Harshad jusqu'à 1000 est : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, 201, 204, 207, 209, 210, 216, 220, 222, 224, 225, 228, 230, 234, 240, 243, 247, 252, 261, 264, 266, 270, 280, 285, 288, 300, 306, 308, 312, 315, 320, 322, 324, 330, 333, 336, 342, 351, 360, 364, 370, 372, 375, 378, 392, 396, 399, 400, 402, 405, 407, 408, 410, 414, 420, 423, 432, 440, 441, 444, 448, 450, 460, 465, 468, 476, 480, 481, 486, 500, 504, 506, 510, 511, 512, 513, 516, 518, 522, 531, 540, 550, 552, 555, 558, 576, 588, 592, 594, 600, 603, 605, 612, 621, 624, 629, 630, 640, 644, 645, 648, 660, 666, 684, 690, 700, 702, 704, 711, 715, 720, 730, 732, 735, 736, 738, 756, 770, 774, 777, 780, 782, 792, 800, 801, 803, 804, 810, 820, 825, 828, 832, 840, 846, 864, 870, 874, 880, 882, 888, 900, 902, 910, 912, 915, 918, 935, 936, 954, 960, 966, 972, 990, 999, 1000

Voir la suite OEIS A005349 ici

Oui. Il a été démontré qu'il existe une infinité de nombres de Harshad.

Un nombre premier de Harshad doit avoir comme somme de ses chiffres un diviseur qui est 1 ou lui-même.

Pour que la somme des chiffres soit égale à $ 1 $, le nombre est nécessairement composé de 1 suivi de zéros, donc un multiple de 10, donc pas un nombre premier.

Pour que la somme des chiffres soit égale à lui-même, le nombre est nécessairement composé que d'un seul chiffre (lui-même).

Donc les seuls nombres premiers de Harshad sont les nombres premiers à un seul chiffre : $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $ et $ 7 $.

Non, les nombres factoriels ne sont pas tous des nombres de Harshad.

Certains petits factorielles, comme $ 3! = 6 $ ou $ 4! = 24 $, sont des nombres de Harshad car ils sont divisibles par la somme de leurs chiffres.

Mais le nombre $ 432! $ est la première factorielle à ne pas être un nombre harshad.

Pour chaque entier, calculer la somme de ses chiffres.

Tester si la division de l'entier par cette somme donne un reste nul, si oui, c'est un nombre de Harshad.

Voici un pseudo code source function harshad(n) {

s ← 0

x ← n

while x > 0 {

s ← s + (x % 10)

x ← x div 10

}

return (n % s = 0)

}