Outil pour calculer Phi : l'indicatrice d'Euler. L'indicatrice d'Euler φ(n) représente le nombre d'entiers inférieurs à n et premiers avec n.
Indicatrice d'Euler - dCode
Catégorie(s) : Arithmétique
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L'indicatrice d'Euler (ou la fonction indicatrice d'Euler ou Euler totient en anglais), notée avec la lettre grecque phi : $ \varphi(n) $ ou $ \phi(n) $ est le nombre représentant le nombre d'entiers inférieurs à $ n $ qui sont premiers avec $ n $
Phi(n) (indicatrice euler) se calcule de plusieurs manières, la formule la plus connue est $$ \varphi(n) = n \prod_{p \mid n} \left( 1 - \frac{1}{p} \right) $$
où $ p $ est un facteur premier qui divise $ n $.
Pour calculer la valeur de l'indicateur d'Euler, la première étape nécessite de trouver la décomposition en facteurs premiers de $ n $. Soient $ p_i $ les $ m $ facteurs premiers distincts diviseurs de $ n $. La formule devient :
$$ \varphi(n) = n \prod_{i=1}^m \left( 1 - \frac{1}{p_i} \right) $$
Exemple : Pour $ n = 6 $, seuls les nombres $ 1 $ et $ 5 $ sont premiers avec $ 6 $ donc $ \varphi(6) = 2 $. Ce que confirme la formule pour $ n = 6 = 2^1 \times 3^1 $ : $$ \varphi(6) = 6 (1-\frac{1}{2}) (1-\frac{1}{3}) = 2 $$
Si $ n $ est un nombre premier, alors $ \varphi(n) = n-1 $
Résoudre $ \phi(x) = N $ nécessite un algorithme de recherche plus ou moins optimisé en se basant sur $ \phi(x) \geq \sqrt{\frac{x}{2}} $ qui va tester toutes les valeurs. Plus de détails ici (lien)
La fonction indicatrice d'Euler (phi) est utilisée en arithmétique modulaire. Elle est notamment utilisée dans le Théorème d'Euler :
Soit $ n $ est un entier supérieur à 1 et $ a $ un entier premier avec $ n $, alors $$ a^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n $$
Exemple : $ n=7 $ , $ a=3 $ et $ \varphi(7) = 6 $ alors $ 3^6 = 729 \equiv 1 \mod 7 $
Ce théorème est d'ailleurs la base du chiffrement RSA.
L'indicatrice d'Euler est une fonction essentielle de l'arithmétique modulaire :
— Un nombre entier positif $ p $ est un nombre premier si et seulement si $ \varphi(p) = p - 1 $
— La valeur $ \varphi(n) $ est paire pour tout $ n > 2 $
— $ \varphi(ab) = \varphi(a) \varphi(b) \frac{d}{\varphi(d)} $ avec $ d $ le PGCD de $ a $ et $ b $
— Si $ a $ et $ b $ sont premiers entre eux, alors $ \varphi(a \times b) = \varphi(a) \times \varphi(b) $
— Si $ a $ divise $ b $ alors $ \varphi(a) \mid \varphi(b) $
— Si $ a $ est pair, $ \varphi(2a) = 2 \varphi(a) $
— Si $ a $ est impair, $ \varphi(2a) = \varphi(a) $
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