Rechercher un outil
Indicatrice d'Euler

Outil pour calculer Phi : l'indicatrice d'Euler. L'indicatrice d'Euler φ(n) représente le nombre d'entiers inférieurs à n et premiers avec n.

Résultats

Indicatrice d'Euler -

Catégorie(s) : Arithmétique

Partager
Partager
dCode et plus

dCode est gratuit et ses outils sont une aide précieuse dans les jeux, les maths, les énigmes, les géocaches, et les problèmes à résoudre au quotidien !
Une suggestion ? un problème ? une idée ? Ecrire à dCode !


Rendez-vous sur notre communauté Discord dCode pour participer au forum d'entraide !
PS : Pour les messages codés, testez notre détecteur de chiffrement !


Grâce à vos remarques, réponses et commentaires pertinents, dCode peut développer le meilleur outil 'Indicatrice d'Euler', alors écrivez-nous c'est gratuit ! Merci !

Indicatrice d'Euler

Calcul de l'indicatrice d'Euler Phi(N)=?


Afficher la liste des nombres premiers avec N

Solveur de Phi(?)=N (Inverse Phi)


Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est ce que l'indicatrice d'Euler ? (Définition)

L'indicatrice d'Euler (ou la fonction indicatrice d'Euler ou Euler totient en anglais), notée avec la lettre grecque phi : $ \varphi(n) $ ou $ \phi(n) $ est le nombre représentant le nombre d'entiers inférieurs à $ n $ qui sont premiers avec $ n $

Comment calculer phi(n) (l'indicatrice d'Euler) ?

Phi(n) (indicatrice euler) se calcule de plusieurs manières, la formule la plus connue est $$ \varphi(n) = n \prod_{p \mid n} \left( 1 - \frac{1}{p} \right) $$

où $ p $ est un facteur premier qui divise $ n $.

Pour calculer la valeur de l'indicateur d'Euler, la première étape nécessite de trouver la décomposition en facteurs premiers de $ n $. Soient $ p_i $ les $ m $ facteurs premiers distincts diviseurs de $ n $. La formule devient :

$$ \varphi(n) = n \prod_{i=1}^m \left( 1 - \frac{1}{p_i} \right) $$

Exemple : Pour $ n = 6 $, seuls les nombres $ 1 $ et $ 5 $ sont premiers avec $ 6 $ donc $ \varphi(6) = 2 $. Ce que confirme la formule pour $ n = 6 = 2^1 \times 3^1 $ : $$ \varphi(6) = 6 (1-\frac{1}{2}) (1-\frac{1}{3}) = 2 $$

Si $ n $ est un nombre premier, alors $ \varphi(n) = n-1 $

Comment calculer l'inverse phi(n) ?

Résoudre $ \phi(x) = N $ nécessite un algorithme de recherche plus ou moins optimisé en se basant sur $ \phi(x) \geq \sqrt{\frac{x}{2}} $ qui va tester toutes les valeurs. Plus de détails ici (lien)

A quoi sert l'indicatrice d'Euler (Théorème d'Euler) ?

La fonction indicatrice d'Euler (phi) est utilisée en arithmétique modulaire. Elle est notamment utilisée dans le Théorème d'Euler :

Soit $ n $ est un entier supérieur à 1 et $ a $ un entier premier avec $ n $, alors $$ a^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n $$

Exemple : $ n=7 $ , $ a=3 $ et $ \varphi(7) = 6 $ alors $ 3^6 = 729 \equiv 1 \mod 7 $

Ce théorème est d'ailleurs la base du chiffrement RSA.

Quelles sont les propriétés de l'indicatrice d'Euler ?

L'indicatrice d'Euler est une fonction essentielle de l'arithmétique modulaire :

— Un nombre entier positif $ p $ est un nombre premier si et seulement si $ \varphi(p) = p - 1 $

— La valeur $ \varphi(n) $ est paire pour tout $ n > 2 $

— $ \varphi(ab) = \varphi(a) \varphi(b) \frac{d}{\varphi(d)} $ avec $ d $ le PGCD de $ a $ et $ b $

— Si $ a $ et $ b $ sont premiers entre eux, alors $ \varphi(a \times b) = \varphi(a) \times \varphi(b) $

— Si $ a $ divise $ b $ alors $ \varphi(a) \mid \varphi(b) $

— Si $ a $ est pair, $ \varphi(2a) = 2 \varphi(a) $

— Si $ a $ est impair, $ \varphi(2a) = \varphi(a) $

Code source

dCode se réserve la propriété du code source de "Indicatrice d'Euler" en ligne. Sauf code licence open source explicite (indiqué CC / Creative Commons / gratuit), l'algorithme pour "Indicatrice d'Euler", l'applet ou snippet (convertisseur, solveur, chiffrement / déchiffrement, encodage / décodage, encryptage / décryptage, traducteur) ou les fonctions liée à "Indicatrice d'Euler" (calculer, convertir, résoudre, décrypter / encrypter, déchiffrer / chiffrer, décoder / encoder, traduire) codés en langage informatique (Python, Java, C#, PHP, Javascript, Matlab, etc.) ou les données, en téléchargement, script, ou copier-coller, ou les accès API à "Indicatrice d'Euler" ne sont pas publics, idem pour un usage hors ligne, PC, tablette, appli iPhone ou Android ! Rappel : dCode est gratuit.

Besoin d'Aide ?

Rendez-vous sur notre communauté Discord dCode pour participer au forum d'entraide !
PS : Pour les messages codés, testez notre détecteur de chiffrement !

Questions / Commentaires

Grâce à vos remarques, réponses et commentaires pertinents, dCode peut développer le meilleur outil 'Indicatrice d'Euler', alors écrivez-nous c'est gratuit ! Merci !


Source : https://www.dcode.fr/indicatrice-euler
© 2021 dCode — La 'boite à outils' indispensable qui sait résoudre tous les jeux / énigmes / géocaches / CTF.
Un problème ?