Moyenne Arithmétique

La moyenne arithmétique est le terme mathématique pour définir ce qui s'appelle plus communément moyenne.

Soit une liste de $ n $ valeurs (chiffres, nombres, entiers naturels ou nombres réels) $ X = \{x_1, x_2, \dots, x_n\} $. La moyenne arithmétique est définie par la somme des valeurs, divisée par le nombre de valeurs $ n $.

$$ \bar{x} = {1 \over n} \sum_{i=1}^n{x_i} $$

La moyenne est généralement utilisée pour donner une tendance générale à un ensemble de données homogènes, éventuellement bornées, par exemple des notes scolaires entre 0 et 20.

Exemple : La liste de $ 4 $ notes/nombres $ \{ 12, 14, 18, 13 \} $ a pour valeur moyenne $ (12+14+18+13)/4 = 14.25 $

Cette définition peut être élargie à une fonction, qui s'appelle alors une moyenne de fonction.

Pour trouver la valeur centrale d'une liste, c'est la médiane.

Lorsque les valeurs sont affectées de coefficients, c'est la moyenne pondérée.

Pour une liste de $ n $ valeurs $ X = \{x_1, x_2, \dots, x_n\} $ ayant une moyenne $ \bar{x} = m $, deux changements d'échelle possibles :

Si tous les $ x_i $ sont augmentés de $ a $ alors la moyenne arithmétique est aussi augmentée de $ a $ et devient $ \bar{x} = m + a $

Si tous les $ x_i $ sont multipliés par $ a $ alors la moyenne arithmétique est aussi multipliée par $ a $ et devient $ \bar{x} = m \times a $

Pour réaliser une sorte d'addition de moyenne de 2 listes : une liste $ A $ de $ n_1 $ valeurs et de moyenne $ \bar{A} = m_1 $ et une liste $ B $ de $ n_2 $ valeurs et de moyenne $ \bar{B} = m_2 $, alors la moyenne des 2 listes est donnée par la formule :

$$ \overline{A+B} = \frac{n_1 m_1 + n_2 m_2}{n_1+n_2} $$

Méthode classique : // pseudocode
fonction moyenne(tableau[N]) {
somme = 0
pour i = 0; i < N ; i++ {
somme += tableau[i]
}
retourner somme / N
}

Méthode optimisée pour les flottants (évite les grands nombres) : // pseudocode
function moyenne(tableau[N]) {
m = 0
pour i = 0; i < N; i++) {
m += (tableau[i] - m)/(i+1);
}
retourner m
}