Ecart-Type

L'écart-type mesure la dispersion d'une série de valeurs autour de sa moyenne. Cette valeur, notée $ \sigma $ (lettre grecque sigma minuscule) caractérise donc la manière dont les données $ X $ (variable aléatoire) sont dispersées, leur volatilité, en mesurant la racine carrée des écarts entre chaque valeur (de la variable) et la moyenne $ m $ (ou espérance). $$ \sigma(X) = \sqrt{ \mathbb{E} \left[(X - m)^{2}\right] } $$

A partir d'une liste de nombre $ x_i $ d'une variable aléatoire $ X $ dont la distribution est inconnue mais ayant une moyenne $ m $, la formule de calcul est $$ \sigma(X)= \sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-m)^2 } $$ cependant cet estimateur est biaisé et la formule de calcul sans biais suivante est préférée $$ \sigma(X)= \sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-m)^2 } $$

Exemple : L'écart-type (sans biais) de la série de 3 nombres 4,5,9 dont la moyenne est 6 vaut $ \sqrt{ \frac{1}{3-1} \left( (4-6)^2 + (5-6)^2 + (9-6)^2 \right) } = \sqrt{ 14/2 = 7 } \approx 2.646 $

La valeur de l'écart type est la racine carré de la variance. En connaissant la valeur de la variance $ V $, $ \sigma $ peut être calculé avec la relation : $$ \sigma(X) = \sqrt{ V(X) } $$