Ecart-Type

La écart-type mesure la dispersion d'une série de valeur autour de sa moyenne. Cette valeur, notée \( \sigma \) (lettre grecque sigma minuscule) caractérise la manière dont les données \( X \) (variable aléatoire) sont dispersées en mesurant la racine carré des écarts entre chaque valeur (de la variable) et la moyenne \( m \) (ou espérance). $$ \sigma(X) = \sqrt{ \mathbb{E} \left[(X - m)^{2}\right] } $$

A partir d'une liste de nombre \( x_i \) d'une variable aléatoire \( X \) dont la distribution est inconnue ayant une moyenne \( m \), la formule de calcul est $$ \sigma(X)= \sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-m)^2 } $$

Exemple : L'écart-type (sans biais) de la série de 3 nombres 4,5,9 dont la moyenne est 6 vaut \( \sqrt{ \frac{1}{3-1} \left( (4-6)^2 + (5-6)^2 + (9-6)^2 \right) } = \sqrt{ 14/2 = 7 } \approx 2.646 \)

La valeur de l'écart type est la racine carré de la variance. En connaissant la valeur de la variance\( V \), \( \sigma \) peut être calculé avec la rélation : $$ \sigma(X) = \sqrt{ V(X) } $$