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Systèmes de Coordonnées 3D

Outil pour réaliser des changements de système de coordonnées dans l'espace 3D (cartésiennes, sphériques, cylindriques, etc.), des opérations géométriques pour représenter des éléments dans différents référentiels.

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Systèmes de Coordonnées 3D -

Catégorie(s) : Géométrie

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Systèmes de Coordonnées 3D

Changement de Coordonnées 3D (dans l'espace)

A partir de coordonnées cartésiennes




Conversion coordonnées cartésiennes vers Sphériques

Conversion coordonnées cartésiennes vers Cylindriques

A partir de coordonnées sphériques




Conversion coordonnées sphériques vers cartésiennes

Conversion coordonnées sphériques vers cylindriques

A partir de coordonnées cylindriques




Conversion coordonnées cylindriques vers cartésiennes

Conversion coordonnées cylindriques vers sphériques

Changement de Coordonnées 2D (dans le plan)

Réponses aux Questions (FAQ)

Comment convertir des coordonnées cartésiennes vers sphériques ?

A partir de coordonnées cartésiennes $ (x,y,z) $, le changement de base/référentiel vers des coordonnées sphériques $ (\rho,\theta,\varphi) $ suit les équations : $$ \rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta = \arccos \left( \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right) = \arccos \left( \frac{z}{\rho} \right) \\ \varphi = \arctan \left( \frac{y}{x} \right) $$

Exemple : Le point de l'espace en position $ (0,\sqrt{2},\sqrt{2}) $ en coordonnées cartésiennes est défini par les coordonnées sphériques $ \rho = 1 $, $ \theta = \pi/4 $ et $ \varphi = \pi/2 $

La conversion peut être vue comme deux conversions de coordonnées 2D cartésiennes vers polaires consécutives, d'abord une dans le plan $ xy $ pour convertir $ (x,y) $ en $ (R, \varphi) $ (avec $ R $ la projection de $ \rho $ sur le plan $ xy $, puis une seconde conversion dans le plan $ zR $ pour changer $ (z,R) $ en $ (\rho, \theta) $

NB : par convention, la valeur de $ \rho $ est positive, la valeur de $ \theta $ est comprise dans l'invervalle $ ] 0, \pi [ $ et la valeur de $ \varphi $ est comprise dans l'invervalle $ ] -\pi, \pi [ $

Si $ \rho = 0 $ alors les angles peuvent être définis par n'importe quels nombres réels de l'intervalle

Comment convertir des coordonnées cartésiennes vers cylindriques ?

A partir de coordonnées cartésiennes $ (x,y,z) $ le changement de base/référentiel vers des coordonnées cylindriques $ (r,\theta,z) $ suit les équations : $$ r = \sqrt{x^2 + y^2} \\ \theta = \arctan \left( \frac {y}{x} \right) \\ z = z $$

NB : par convention, la valeur de $ \rho $ est positive, la valeur de $ \theta $ est comprise dans l'invervalle $ ] -\pi, \pi [ $ et $ \varphi $ est un nombre réel

Comment convertir des coordonnées sphériques vers cartésiennes ?

A partir de coordonnées sphériques $ (\rho,\theta,\varphi) $ le changement de base/référentiel vers des coordonnées cartésiennes $ (x,y,z) $ suit les équations : $$ x = \rho \sin\theta \cos\varphi \\ y = \rho \sin\theta \sin\varphi \\ z = \rho \cos\theta $$

Comment convertir des coordonnées sphériques vers cylindriques ?

A partir de coordonnées sphériques $ (r,\theta,\varphi) $ le changement de base/référentiel vers des coordonnées cylindriques $ (r,\theta^*,z) $ suit les équations : $$ r = \rho \sin \theta \\ \theta^* = \varphi \\ z = \rho \cos \theta $$

Comment convertir des coordonnées cylindriques vers cartésiennes ?

A partir de coordonnées cylindriques $ (r,\theta,z) $ le changement de base/référentiel vers des coordonnées cartésiennes $ (x,y,z) $ suit les équations : $$ x = r \cos\theta \\ y = r \sin\theta \\ z = z $$

Comment convertir des coordonnées cylindriques vers sphériques ?

A partir de coordonnées cylindriques $ (r,\theta^*,z) $ le changement de base/référentiel vers des coordonnées sphériques $ (\rho,\theta,\varphi) $ suit les équations : $$ \rho = \sqrt{r^2 + z^2} \\ \theta = \arctan \left( \frac{r}{z} \right) = \arccos \left( \frac{z}{\sqrt{r^2 + z^2}} \right) \\ \varphi = \theta^* $$

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Source : https://www.dcode.fr/changement-coordonnees-3d
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