Outil pour rendre les fractions irréductibles. Une fraction irréductible est une fraction où le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux (qu'ils n'ont pas de diviseurs communs).
Fractions Irréductibles - dCode
Catégorie(s) : Arithmétique, Calcul Formel
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Fractions Irréductibles
Simplifier en Fraction Irréductible
Conversion d'un nombre à virgule en fraction
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce qu'une fraction irréductible ? (Définition)
Une fraction irréductible notée $ a / b $ ou $ \frac{a}{b} $ est une fraction dans laquelle le dénominateur $ b $ (le nombre sous la barre de fraction, le diviseur) est l'entier le plus petit possible tandis que le numérateur $ a $ (le dividende, le nombre au-dessus de la barre de fraction) doit également être un entier.
Exemple : Une fraction quelconque peut être écrite de différente façon tout en conservant sa valeur : $ \frac{50}{100} = \frac{5}{10} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5 $, mais seule $ \frac{1}{2} $ est une fraction irréductible.
Donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible est généralement le format préféré pour écrire une fraction, car c'est sa forme la plus simple.
Mathématiquement, une fraction irréductible est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, c’est-à-dire qu'ils n'ont aucun diviseur commun autre que 1. Autrement dit, il est impossible de la simplifier davantage.
Comment rendre une fraction irréductible ?
Pour simplifier une fraction $ a / b $ :
— Identifier les nombres $ a $ et $ b $.
Exemple : La fraction $ 12/10 $ possède $ a = 12 $ comme numérateur et $ b = 10 $ comme dénominateur.
— Calculer le plus grand commun diviseur (PGCD) des deux nombres $ a $ et $ b $.
Exemple : $ \operatorname{PGCD}(12,10) = 2 $
— Diviser le numérateur $ a $ et le dénominateur $ b $ par la valeur de leur PGCD.
Exemple : La division du numérateur donne $ 12/2 = 6 $ et pour le dénominateur $ 10/2 = 5 $.
— La fraction irréductible est donc $ \frac{\operatorname{PGCD}(a)}{\operatorname{PGCD}(b)} $
Exemple : La fraction sous forme la plus réduite de $ 12/10 $ est $ 6/5 $
Comment savoir si une fraction est irréductible ?
Une fraction est irréductible si le PGCD de son numérateur et de son dénominateur est égal à 1.
Exemple : $ \frac{7}{13} $ est irréductible car $ \operatorname{PGCD}(7,13) = 1 $
Si $ \operatorname{PGCD}(a,b) > 1 $ alors la fraction est réductible.
Pourquoi rendre une fraction irréductible ?
La fraction irréductible est la forme canonique attendue dans les exercices, examens ou démonstrations, elle permet de :
— Présenter un résultat sous sa forme la plus simple.
— Simplifier les calculs.
— Comparer plus facilement des fractions.
Comment calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible ?
Parfois la fraction prend la forme d'un calcul. Effectuer le calcul du numérateur et du dénominateur indépendamment (addition, soustraction, multiplication ou division) avant de simplifier la fraction.
Exemple : $ (a+b) / (c-d) $
dCode peut réaliser ce calcul automatiquement via la calculatrice formelle intégrée : entrer la ou les expressions/fractions et le simplificateur réalise des calculs formels pour conserver les éventuelles variables et retrouver la forme la plus simple de la division (simplification de la fraction sous forme irréductible).
Comment convertir un nombre à virgule en fraction ?
Si le nombre a un développement décimal limité alors le multiplier par la puissance de $ 10 $ adéquate qui supprime la virgule puis de simplifier.
Exemple : Le nombre $ 0.14 $ est équivalent à $ 0.14/1 $. Multiplier par $ 10/10 (=1) $ jusqu'à ne plus avoir de virgule : $ 0.14/1 = 1.4/10 = 14/100 $, ensuite simplifier $ 14/100 = 7/50 $
Si le nombre a un développement décimal non fini alors repérer la portion du nombre après la virgule qui se répète.
Exemple : Le nombre $ 0.166666666\dots $ avec le $ 6 $ répété à l'infini.
Soit $ x $ le nombre à virgule, et $ n $ la taille (le nombre de chiffres) de plus petite portion répétée. Pour obtenir une fraction, multiplier $ x $ par $ 10^n $ puis soustraire $ x $.
Exemple : $ x = 0.1666666\dots $, la plus petite portion répétée est $ 6 $, soit un seul chiffre donc $ n = 1 $. Pour trouver la fraction, calculer $ 10^1 \times x = 1.6666666\dots $ et $ 10x-x $. $$ 10x-x = 9x = 1.666666\dots - 0.1666666\dots = 1.5 \\ \iff 9x = 1.5 \\ \Rightarrow x = 1.5/9 = 15/90 = 1/6 $$ donc $ 1/6 = 0.1666666\dots $
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