Fractions Irréductibles

Pour simplifier une fraction \( a / b \) ou \( \frac{a}{b} \) composée d'un numérateur \( a \) et d'un dénominateur \( b \), il faut chercher le plus grand commun diviseur (PGCD) des nombres \( a \) et \( b \). Le simplificateur de fraction va la transformer en fraction irréductible en divisant le numérateur et le dénominateur par le PGCD obtenu.

Exemple : La fraction \( 12/10 \), avec \( 12 \) le numérateur et \( 10 \) le dénominateur. Calculer le PGCD des 2 nombres : \( PGCD(12,10) = 2 \) et diviser le numérateur \( 12/2 = 6 \) et le dénominateur \( 10/2 = 5 \) par celui-ci. La fraction irréductible correspondante est donc \( 6/5 \).

Entrer les expressions/fractions dans la calculatrice de dCode. Le simplificateur réalise des calculs formels pour conserver les éventuelles variables et retrouver la forme irréductible.

Si le nombre a un développement décimal limité alors il suffit de multiplier par la puissance de \( 10 \) adéquate qui supprime la virgule puis de simplifier.

Exemple : Le nombre \( 0.14 = 0.14/1 \). Multiplier par \( 10/10 (= 1) \) jusqu'à ne plus avoir de virgule : \( 0.14/1 = 1.4/10 = 14/100 \), ensuite simplifier \( 14/100 = 7/50 \)

Si le nombre a un développement décimal non fini, alors il faut repérer la portion du nombre après la virgule qui se répète.

Exemple : Le nombre \( 0.166666666... \) avec le \( 6 \) répété à l'infini.

On appelle \( x \) le nombre, et \( n \) la taille (le nombre de chiffres) de plus petite portion répétée. Pour obtenir une fraction, multiplier \( x \) par \( 10^n \) puis soustraire \( x \).

Exemple : \( x = 0.1666666... \), la plus petite portion répétée est \( 6 \), qui a un seul chiffre donc \( n = 1 \). Calculer \( 10^1 \times x = 1.6666666... \) et \( 10x-x \). $$ 10x-x = 9x = 1.666666... - 0.1666666... = 1.5 \\ \iff 9x = 1.5 \\ \Rightarrow x = 1.5/9 = 15/90 = 1/6 $$ On a donc \( 1/6 = 0.1666666... \)