Fractions Irréductibles

Une fraction peut être écrite de différente façon tout en conservant sa valeur.

Exemple : $ \frac{50}{100} = \frac{5}{10} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5 $

Une fraction irréductible est une fraction dont le diviseur (le nombre sous la barre de fraction) est l'entier le plus petit possible. NB: le dividende (nombre au dessus de la barre de fraction) doit aussi être un entier.

La fraction irréductible est généralement le format préféré pour écrire une fraction dans la forme la plus simple.

Exemple : $ \frac{1}{2} $ est une fraction irréductible alors que $ \frac{2}{4} $ n'est pas une fraction irréductible.

Pour simplifier une fraction $ a / b $ ou $ \frac{a}{b} $ composée d'un numérateur $ a $ et d'un dénominateur $ b $, chercher le plus grand commun diviseur (PGCD) des nombres $ a $ et $ b $. Le simplificateur de fraction va la transformer en fraction irréductible en divisant le numérateur et le dénominateur par le PGCD calculé.

Exemple : La fraction $ 12/10 $ possède $ 12 $ comme numérateur et $ 10 $ le dénominateur. Calculer le PGCD des 2 nombres : $ PGCD(12,10) = 2 $ et diviser le numérateur $ 12/2 = 6 $ et le dénominateur $ 10/2 = 5 $ par celui-ci. La fraction irréductible correspondante est donc $ 6/5 $

dCode propose des outils pour calculer le PGCD via par exemple l'algorithme d'Euclide.

Utiliser la calculatrice du formulaire ci dessus : entrer la ou les expressions/fractions et le simplificateur réalise des calculs formels pour conserver les éventuelles variables et retrouver la forme la plus simple de la division (simplification de la fraction sous forme irréductible).

Si le nombre a un développement décimal limité alors le multiplier par la puissance de $ 10 $ adéquate qui supprime la virgule puis de simplifier.

Exemple : Le nombre $ 0.14 $ est équivalent à $ 0.14/1 $. Multiplier par $ 10/10 (= 1) $ jusqu'à ne plus avoir de virgule : $ 0.14/1 = 1.4/10 = 14/100 $, ensuite simplifier $ 14/100 = 7/50 $

Si le nombre a un développement décimal non fini alors repérer la portion du nombre après la virgule qui se répète.

Exemple : Le nombre $ 0.166666666... $ avec le $ 6 $ répété à l'infini.

Soit $ x $ le nombre à virgule, et $ n $ la taille (le nombre de chiffres) de plus petite portion répétée. Pour obtenir une fraction, multiplier $ x $ par $ 10^n $ puis soustraire $ x $.

Exemple : $ x = 0.1666666... $, la plus petite portion répétée est $ 6 $, soit un seul chiffre donc $ n = 1 $. Pour trouver la fraction, calculer $ 10^1 \times x = 1.6666666... $ et $ 10x-x $. $$ 10x-x = 9x = 1.666666... - 0.1666666... = 1.5 \\ \iff 9x = 1.5 \\ \Rightarrow x = 1.5/9 = 15/90 = 1/6 $$ donc $ 1/6 = 0.1666666... $