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Fraction Périodique

Outil pour trouver la période d'une fraction ou d'un nombre décimal. La période est un ensemble de chiffres qui se répète à l'infini dans les décimales du nombre (généralement un nombre rationnel ou une une fraction périodique).

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Fraction Périodique -

Catégorie(s) : Arithmétique

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Fraction Périodique

Détection de Décimales Répétées A/B




Détection de Décimales Finies




Trouver la Fraction



Outil pour trouver la période d'une fraction ou d'un nombre décimal. La période est un ensemble de chiffres qui se répète à l'infini dans les décimales du nombre (généralement un nombre rationnel ou une une fraction périodique).

Réponses aux Questions

Qu'est ce qu'un développement décimal périodique ?

Le développement décimal périodique d'une fraction est la suite de chiffres qui se répète à l'infini dans l'écriture décimales du nombre.

Exemple : 1/3 = 0.3333333333... Le chiffre 3 se répète à l'infini

Exemple : 1/27 = 0.037037037037037... Les chiffres 037 se répètent à l'infini

Il est préférable d'écrire la fraction sous forme irréductible.

Les inverses des nombres premiers fournissent des développements décimaux périodiques intéressants.

Qu'est ce qu'un développement décimal fini ?

Un développement décimal fini indique qu'aucune suite de chiffre ne se répète à l'infini dans l'écriture décimales du nombre.

Exemple : 4/25 = 0.16 le développement est fini et ne continue pas

Comment écrire un développement décimal périodique ?

Plusieurs notations sont possibles.

La première utilise des ... points de suspension, mais ne permet pas de définir la partie qui se répète. Elle est pratique mais non rigoureuse et donc déconseillée.

Exemple : $ 37/300 = 0.12333333333... $

Notation avec une barre au dessus de la partie répétée.

Exemple : $ 37/300 = 0.12\overline{3} $

Notation avec une barre en dessous de la partie répétée.

Exemple : $ 37/300 = 0.12\underline{3} $

Notation entre crochets

Exemple : $ 37/300 = 0.12[3] $

Comment retrouver la fraction à partir des décimales ?

Soit $ x $ le nombre, et $ n $ la taille (le nombre de chiffres) de la partie périodique du développement décimal. Pour obtenir l'écriture fractionnaire, résoudre $ x \times 10^n - x $.

Exemple : $ x = 0.1\overline{6} = 0.1666666... $, la portion répétée est $ 6 $, soit un seul chiffre donc $ n=1 $. Calculer $ 10^1 \times x = 1.\overline{6} = 1.6666666... $ et résoudre $ 10x−x = 9x = 1.\overline{6}−0.1\overline{6}=1.5 \iff 9x=1.5 \iff x=1.5/9 = 15/90 = 1/6 $

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Source : https://www.dcode.fr/developpement-decimal-periodique
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