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Fraction Périodique

Outil pour trouver la période d'une fraction ou d'un nombre décimal. La période est un ensemble de chiffres qui se répète à l'infini dans les décimales du nombre (généralement un nombre rationnel ou une une fraction périodique).

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Fraction Périodique -

Catégorie(s) : Arithmétique

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Fraction Périodique

Détection de Décimales Répétées A/B




Détection de Décimales Finies




Trouver la Fraction



Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est ce qu'un développement décimal périodique ? (Définition)

Le développement décimal périodique d'un nombre rationnel ou d'une fraction (numérateur sur dénominateur) est la suite de chiffres qui se répète à l'infini dans l'écriture décimales du nombre.

Exemple : 1/3 = 0.3333333333... Le chiffre 3 se répète à l'infini

Exemple : 1/27 = 0.037037037037037... Les chiffres 037 se répètent à l'infini

Toutes les fractions n'ont pas un développement périodique, certaines ont un développement décimal fini.

Qu'est ce qu'un développement décimal fini ? (Définition)

Un développement décimal fini indique qu'aucune suite de chiffre ne se répète à l'infini dans l'écriture décimales du nombre.

Exemple : 4/25 = 0.16 le développement est fini et ne continue pas

Tout nombre qui s'écrit sous forme décimale avec un nombre fini de chiffre après la virgule a un développement décimal fini.

Comment écrire un développement décimal périodique ?

Plusieurs notations sont possibles.

La première utilise des ... points de suspension, mais ne permet pas de définir la partie qui se répète. Elle est pratique mais non rigoureuse et donc déconseillée.

Exemple : $ 37/300 = 0.12333333333... $

Notation avec une barre au dessus de la partie répétée.

Exemple : $ 37/300 = 0.12\overline{3} $

Notation avec une barre en dessous de la partie répétée.

Exemple : $ 37/300 = 0.12\underline{3} $

Notation entre crochets

Exemple : $ 37/300 = 0.12[3] $

NB: Pour plus de clarté, il est préférable d'écrire la fraction sous forme irréductible.

Comment trouver les décimales d'une fraction ?

Effectuer la division du numérateur par le dénominateur. Poser la division euclidienne à la main ou utiliser une calculatrice.

Comment retrouver la fraction à partir des décimales ?

Soit $ x $ le nombre, et $ n $ la taille (le nombre de chiffres) de la partie périodique du développement décimal. Pour obtenir l'écriture fractionnaire, résoudre $ x \times 10^n - x $.

Exemple : $ x = 0.1\overline{6} = 0.1666666... $, la portion répétée est $ 6 $, soit un seul chiffre donc $ n=1 $. Calculer $ 10^1 \times x = 1.\overline{6} = 1.6666666... $ et résoudre $ 10x−x = 9x = 1.\overline{6}−0.1\overline{6}=1.5 \iff 9x=1.5 \iff x=1.5/9 = 15/90 = 1/6 $

Quels sont les développements décimaux les plus connus ?

Les inverses des nombres premiers fournissent des développements décimaux périodiques longs et intéressants.

Exemple : $ 1/3 = 0.333333... $

Exemple : $ 1/7 = 0.142857142857... $

Existe-t-il un développement décimal infini comportant une série de chiffre qui ne se répète jamais ?

Tout nombre rationnel (toute fraction) a un développement fini ou un décimal périodique avec nombre fini de chiffres qui se répètent à l'infini.

Mais existe des nombres réels non rationnels (qui ne sont pas des fractions) qui ont des décimales sans répétition

Exemple : $ \pi = 3.14159265... $ n'a pas de répétition connue à ce jour.

Exemple : La constante de Champernowne n'aura jamais de répétition, c'est un nombre univers.

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Source : https://www.dcode.fr/developpement-decimal-periodique
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