Fonction Monotone

Une fonction monotone est une fonction $ f $ telle que pour tout $ x_1, x_2 $ si $ x_1 < x_2 $ alors soit $ f(x_1) < f(x_2) $ (fonction croissante) soit $ f(x_1) > f(x_2) $ (fonction décroissante) mais pas les deux.

Autrement dit, une fonction monotone est une fonction qui préserve ou renverse l'ordre.

Plusieurs méthodes permettent de calculer le sens de variation d'une fonction afin de savoir si une fonction est monotone :

- Calcul avec sa dérivée : Lorsque la dérivée de la fonction est toujours inférieure à $ 0 $ ou toujours supérieure à $ 0 $ alors la fonction est monotone.

Exemple : La dérivée de la fonction $ f(x) = x^3+1 $ est $ f'(x) = 3x^2 $, le calcul de $ f'(x) >= 0 $ est toujours vérifié, quelle que soit la valeur de $ x $ donc la fonction $ f $ est monotone (et croissante) sur $ \mathbb{R} $

- Calcul avec son équation : Certaines fonctions sont notoirement monotones (soit croissantes soit décroissantes) : la fonction exponentielle, etc.

Exemple : $ x+1 $ est croissante sur $ \mathbb{R} $

- Calcul avec la courbe de la fonction : une fonction monotone a sa courbe qui se dirige soit toujours vers le bas, soit toujours vers le haut

Une suite monotone est une série de nombres soit toujours croissante, soit toujours décroissante.