Fonction Décroissante

Une fonction $ f $ est strictement décroissante si pour tout $$ x_1 < x_2 , f(x_1) > f(x_2) $$ (inversion des signes)

Autrement dit, $ f $ a un sens de variation décroissant, lorsque $ x $ augmente, $ f(x) $ diminue (pas forcément de la même quantité).

Une fonction est décroissante (non strictement, au sens large) si pour tout $$ x_1 < x_2 , f(x_1) \geq f(x_2) $$

Exemple : La fonction $ f(x) = x+1 $ est décroissante sur tout son ensemble de définition $ \mathbb{R} $

La décroissance d'une fonction peut être également définie sur un intervalle.

Exemple : La fonction $ f(x) = x^2 $ est strictement décroissante sur $ \mathbb{R}^- $ aussi noté $ x < 0 $ ou encore $ ] -\infty ; 0 [ $

Plusieurs méthodes permettent de trouver le sens de variation pour savoir si une fonction est décroissante :

- A partir de sa dérivée : Lorsque la dérivée de la fonction est inférieure à $ 0 $ alors la fonction est décroissante.

Exemple : La dérivée de la fonction $ f(x) = x^2+1 $ est $ f'(x) = 2x $, le calcul de $ f'(x) < 0 $ donne $ x < 0 $ donc la fonction $ f $ est décroissante lorsque $ x < 0 $

- A partir de son équation : Certaines fonctions sont notoirement décroissantes : la fonction inverse, l'opposé des fonctions croissantes, etc.

Exemple : $ \frac{1}{x} $ est décroissante sur $ \mathbb{R}^* $

- A partir de la courbe de la fonction : une fonction décroissante a sa courbe qui se dirige vers le bas.

Une fonction linéaire de la forme $ f(x) = ax+b $ est décroissante sur $ \mathbb{R} $ lorsque le coefficient $ a $ est négatif ($ a < 0 $). Si $ a $ est positif alors la fonction est croissante.