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Sous-factorielle

Outil pour calculer des sous-factorielles. La sous-factorielle !n est le nombre de dérangements, soit le nombre de permutations possibles de n objets distincts de manière à ce qu'aucun objet ne se trouve à sa place originale.

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Sous-factorielle -

Catégorie(s) : Arithmétique

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Calcul de Sous-Factorielle !N


Outil pour calculer des sous-factorielles. La sous-factorielle !n est le nombre de dérangements, soit le nombre de permutations possibles de n objets distincts de manière à ce qu'aucun objet ne se trouve à sa place originale.

Réponses aux Questions

Comment calculer une sous-factorielle ?

La sous-factorielle de \( n \) se calcule par cette formule : $$ !n = n! \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} $$

Exemple : $$ \begin{align} !4 &= 4! ( \frac{(-1)^0}{0!} + \frac{(-1)^1}{1!} + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} + \frac{(-1)^4}{4!} ) \\ &= 4! \times ( 1/1 - 1/1 + 1/2 - 1/6 + 1/24 ) \\ &= 24 \times 9/24 \\ &= 9 \end{align} $$

Il existe aussi la formule : $$ !n = \left [ \frac {n!}{e} \right ] $$ où les crochets [] signifient un arrondi à l'entier le plus proche.

Exemple : \( 4! / e \approx 24/2.718 \approx 8.829 \Rightarrow !4 = 9 \)

Quelles sont les premières valeurs de la fonction sous-factorielle ?

Les premières valeurs pour les premiers entiers naturels sont :

!1 = 0
!2 = 1
!3 = 2
!4 = 9
!5 = 44
!6 = 265
!7 = 1854
!8 = 14833
!9 = 133496
!10 = 1334961

Comment écrire une sous-factorielle ?

La sousfactorielle, comme la factorielle, utilise le point d'exclamation comme symboles mais celui-ci est inscrit à gauche du nombres : \( !n \)

Comment lister les dérangements ?

Les dérangements sont les permutations auxquelles sont enlevés les points fixes (qu'aucun élément ne se trouve à sa place originale). Le nombre de dérangements pour \( n \) éléments est sous-factorielle de \( n \) : \( !n \).

Exemple : Les \( !4 = 9 \) dérangements de {1,2,3,4} sont {2,1,4,3}, {2,3,4,1}, {2,4,1,3}, {3,1,4,2}, {3,4,1,2}, {3,4,2,1}, {4,1,2,3}, {4,3,1,2}, et {4,3,2,1}.

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