Double Factorielle

La double factorielle (aussi appelée semifactorielle) d'un nombre $ n $, notée $ n!! $ (avec deux points d'exclamation), est la multiplication (le produit) de tous les nombres entiers non nuls inférieur ou égaux à $ n $ qui ont la même parité.

$$ n!! = \prod_{k=0}^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil - 1} (n-2k) = n (n-2) (n-4) \cdots $$

Si $ n $ est un nombre pair (multiple de 2) alors $ n!! $ est la multiplication de tous les multiples de $ 2 $ inférieurs ou égaux à $ n $ (et supérieur à $ 0 $).

Si $ n $ est un nombre impair (non multiple de 2) alors $ n!! $ est la multiplication de tous les nombres non multiples de $ 2 $ inférieurs ou égaux à $ n $ (et supérieur à $ 0 $).

Exemple : $$ 8!! = 2 \times 4 \times 6 \times 8 = 384 $$

Exemple : $$ 5!! = 1 \times 3 \times 5 = 15 $$

Attention à ne pas confondre la double factorielle $ n!! $ avec la factorielle de factorielle $ (n!)! $

Par convention, la double factorielle de zéro vaut 1 : $ 0!! = 1 $

Les valeurs des premières doubles factorielles : $$ 0!! = 1 \\ 1!! = 1 \\ 2!! = 2 \\ 3!! = 3 \\ 4!! = 8 \\ 5!! = 15 \\ 6!! = 48 \\ 7!! = 105 \\ 8!! = 384 \\ 9!! = 945 \\ 10!! = 3840 $$

Les relations remarquables de la double factorielle avec la factorielle sont :

$$ n! = n!! (n-1)!! $$

$$ n!! = \frac{n!}{(n-1)!!} = \frac{(n+1)!}{(n+1)!!} $$