Conjugué de Nombre Complexe

Le conjugué d'un nombre complexe \( z = a+ib \) est noté avec une barre \( \overline{z} \) (ou parfois avec une étoile \( z^* \)) et est égal à \( \overline{z} = a-ib \) avec \( a = \Re{z} \) la partie réelle et \( b = \Im{z} \) la partie imaginaire.

Exemple : Soit \( z = 1+i \) alors le conjugué est \( \overline{z} = 1-i \)

Sur un plan complexe, les points \( z \) et \( \overline{z} \) sont symétriques (symétrie par rapport à l'axe des abscisses), les 2 points sont des paires de conjugués.

Soient les nombres complexes \( z, z_1, z_2 \), le conjugué a les propriétés :

$$ \overline{z_1+z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} $$

$$ \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \times \overline{z_2} $$

$$ \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \iff z_2 \neq 0 $$

Un nombre sans partie imaginaire est égal à son conjugué :

$$ \Im(z) = 0 \iff \overline{z} = z $$

Le module d'un nombre complexe et son conjugué sont égaux :

$$ |\overline{z}|=|z| $$

Le conjugué \( \overline{a} \) d'un nombre réel \( a \) est le nombre \(a\) lui-même : \( a=a+0i=a-0i=\overline{a} \)