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Conjugué de Nombre Complexe

Outil pour calculer la valeur du conjugué d'un nombre complexe. Le conjugué d'un nombre complexe $ z $ s'écrit $ \overline{z} $ ou $ z^* $ et est formé de la même partie réelle avec une partie imaginaire opposée.

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Conjugué de Nombre Complexe -

Catégorie(s) : Mathématiques

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Conjugué de Nombre Complexe

Calculatrice de Conjugué


Outil pour calculer la valeur du conjugué d'un nombre complexe. Le conjugué d'un nombre complexe $ z $ s'écrit $ \overline{z} $ ou $ z^* $ et est formé de la même partie réelle avec une partie imaginaire opposée.

Réponses aux Questions

Comment calculer le conjugué d'un nombre complexe ?

Le conjugué d'un nombre complexe $ z = a+ib $ est noté avec une barre $ \overline{z} $ (ou parfois avec une étoile $ z^* $) et est égal à $ \overline{z} = a-ib $ avec $ a = \Re{z} $ la partie réelle et $ b = \Im{z} $ la partie imaginaire.

Exemple : Soit $ z = 1+i $ alors le conjugué est $ \overline{z} = 1-i $

En d'autres mots, pour trouver le conjugué d'un nombre complexe, prendre ce même nombre complexe mais avec l'opposé (signe moins) de sa partie imaginaire (contenant $ i $).

Qu'est ce qu'une paire de conjugués complexes ?

L'ensemble de 2 éléments : un nombre complexe $ z $ et son conjugué $ \overline{z} $, forment une paire de conjugués.

Sur un plan complexe, les points $ z $ et $ \overline{z} $ sont symétriques (symétrie par rapport à l'axe des abscisses).

Quelles sont les propriétés des conjugués ?

Soient les nombres complexes $ z, z_1, z_2 $, le conjugué a les propriétés :

$$ \overline{z_1+z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} $$

$$ \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \times \overline{z_2} $$

$$ \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \iff z_2 \neq 0 $$

Un nombre sans partie imaginaire est égal à son conjugué :

$$ \Im(z) = 0 \iff \overline{z} = z $$

Le module d'un nombre complexe et son conjugué sont égaux :

$$ |\overline{z}|=|z| $$

Quel est produit le d'un nombre complexe et de son conjugué ?

La multiplication d'un nombre complexe $ z = a+ib $ et son conjugué $ \overline{z} = a-ib $ donne : $$ z \times \overline{z} = a^2+b^2 $$

Ce nombre est un nombre réel (pas de partie imaginaire $ i $) et strictement positif (addition de 2 valeurs au carrés forcément positives)

Quel est le conjugué d'un nombre réel ?

Le conjugué $ \overline{a} $ d'un nombre réel $ a $ est le nombre \(a\) lui-même : $ a=a+0i=a-0i=\overline{a} $

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