Conjugué de Nombre Complexe

Le conjugué d'un nombre complexe $ z = a+ib $ est noté avec une barre $ \overline{z} $ (ou parfois avec une étoile $ z^* $) et est égal à $ \overline{z} = a-ib $ avec $ a = \Re (z) $ la partie réelle et $ b = \Im (z) $ la partie imaginaire.

Exemple : Déterminer le conjuqué de $ z = 1+i $ c'est calculer $ \overline{z} = 1-i $

En d'autres mots, pour trouver le conjugué d'un nombre complexe, prendre ce même nombre complexe mais avec l'opposé (signe moins) de sa partie imaginaire (contenant $ i $).

L'ensemble de 2 éléments : un nombre complexe $ z $ et son conjugué $ \overline{z} $, forment une paire de conjugués.

Sur un plan complexe, les points $ z $ et $ \overline{z} $ sont symétriques (symétrie par rapport à l'axe des abscisses).

Soient les nombres complexes $ z, z_1, z_2 $, le conjugué a les propriétés :

$$ \overline{z_1+z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} $$

$$ \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \times \overline{z_2} $$

$$ \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} \iff z_2 \neq 0 $$

Un nombre sans partie imaginaire est égal à son conjugué :

$$ \Im (z) = 0 \iff \overline{z} = z $$

Le module d'un nombre complexe et son conjugué sont égaux :

$$ |\overline{z}|=|z| $$

La multiplication d'un nombre complexe $ z = a+ib $ et son conjugué $ \overline{z} = a-ib $ donne : $$ z \times \overline{z} = a^2+b^2 $$

Ce nombre est un nombre réel (pas de partie imaginaire $ i $) et strictement positif (addition de 2 valeurs au carrés forcément positives)

Le conjugué de $ i $ est $ -i $

Le conjugué $ \overline{a} $ d'un nombre réel $ a $ est le nombre $ a $ lui-même : $ a=a+0i=a-0i=\overline{a} $

Exemple : $ \overline{1 + 0 \times i} = 1 $