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Polynome Caractéristique d'une Matrice

Outil de calcul du polynome caractéristique d'une matrice. Le polynome caractéristique d'une matrice M est calculé comme le déterminant de (X.I-M).

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Polynome Caractéristique d'une Matrice -

Catégorie(s) : Mathématiques, Algèbre, Calcul Formel

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Polynome Caractéristique d'une Matrice

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Calculatrice de Polynôme Caractéristique



Outil de calcul du polynome caractéristique d'une matrice. Le polynome caractéristique d'une matrice M est calculé comme le déterminant de (X.I-M).

Réponses aux Questions

Qu'est-ce que le polynome caractéristique d'une matrice ?

Soit \( M \) une matrice carré de taille \( n \), on appelle le polynome caractéristique \( P \) de la matrice \( M \) le polynome défini par $$ P(M) = \det( X.I_n - M ) $$ avec \( I_n \) la matrice identité de taille \( n \).

Exemple : $$ M=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow X.I_n - M = \begin{pmatrix} x-1 & -2 \\ -3 & x-4 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(X.I_n - M) = (x-1)(x-4)-((-2)\times(-3)) = x^2-5x-2 $$

Si \( M \) est une matrice diagonale avec \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \) comme éléments de diagonale, alors $$ P(M) = \det( X.I_n - M ) = (X-\lambda_1)(X-\lambda_2)\ldots(X-\lambda _n) $$

Pourquoi calculer le polynome caractéristique d'une matrice ?

Le polynome caractéristique d'une matrice, comme son nom l'indique, caractérise une matrice, il permet notamment de calculer les valeurs propreshref et les vecteurs propreshref.

Comment calculer le polynome caractéristique d'une matrice 2x2 ?

Le calcul du polynome caractéristique d'une matrice carré d'ordre 2 peut s'écrire à l'aide de la Trace de la matricehref M : $$ P(M) = \det( X.I_2 - M ) = X^2 - \operatorname{Tr}(M)X+ \det(M) $$

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