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Polynome Caractéristique d'une Matrice

Outil de calcul du polynome caractéristique d'une matrice. Le polynome caractéristique d'une matrice M est calculé comme le déterminant de (X.I-M).

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Polynome Caractéristique d'une Matrice -

Catégorie(s) : Mathématiques,Algèbre,Calcul Formel

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Calculatrice de Polynôme Caractéristique



Outil de calcul du polynome caractéristique d'une matrice. Le polynome caractéristique d'une matrice M est calculé comme le déterminant de (X.I-M).

Réponses aux Questions

Qu'est-ce que le polynome caractéristique d'une matrice ?

Soit \( M \) une matrice carré de taille \( n \), on appelle le polynome caractéristique \( P \) de la matrice \( M \) le polynome défini par $$ P(M) = \det( X.I_n - M ) $$ avec \( I_n \) la matrice identité de taille \( n \).

$$ M=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow X.I_n - M = \begin{pmatrix} x-1 & -2 \\ -3 & x-4 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(X.I_n - M) = (x-1)(x-4)-((-2)\times(-3)) = x^2-5x-2 $$

Si \( M \) est une matrice diagonale avec \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \) comme éléments de diagonale, alors $$ P(M) = \det( X.I_n - M ) = (X-\lambda_1)(X-\lambda_2)\ldots(X-\lambda _n) $$

Comment calculer le polynome caractéristique d'une matrice 2x2 ?

Le calcul du polynome caractéristique d'une matrice carré d'ordre 2 peut s'écrire à l'aide de la Trace de la matricehref M : $$ P(M) = \det( X.I_2 - M ) = X^2 - \operatorname{Tr}(M)X+ \det(M) $$

Comment calculer le polynome caractéristique d'une matrice 3x3 ?

Pour une matrice M 3x3 le calcul du polynome caractéristique peut s'écrire à l'aide de la trace de la comatricehref de M : $$ P(M) = \det( X.I_2 - M ) = X^3 - \rm{Tr}(M)X^2 + \rm{Tr}( \rm{com}(M))X - \det(M) $$

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