Rendu de Monnaie

Le problème du rendu de monnaie est un problème fondamental en algorithmique et en optimisation combinatoire. Il consiste à déterminer, pour une somme donnée et un ensemble de valeurs de pièces ou de billets, une combinaison permettant de représenter exactement cette somme en utilisant un nombre minimal d'unités.

Un algorithme glouton pour le rendu de monnaie consiste à choisir, à chaque étape, la pièce ou le billet de plus grande valeur possible ne dépassant pas la somme restante.

Cette stratégie est simple et efficace, mais elle ne garantit pas toujours une solution optimale.

Un système de monnaie est dit canonique si l'algorithme glouton fournit toujours une solution utilisant le nombre minimal de pièces.

Lorsque le système n'est pas canonique, l'algorithme glouton ne convient pas et une autre approche est nécessaire.

La programmation dynamique permet de résoudre le problème du rendu de monnaie de manière optimale pour tout système de pièces, en exploitant le fait qu'une solution optimale pour une somme donnée se construit à partir de solutions optimales pour des sommes plus petites.

Les étapes clés sont les suivantes :

1 - Initialisation : Créer un tableau dp où dp[i] représente le nombre minimal de pièces nécessaires pour rendre la somme i. Initialiser dp[0] = 0 et dp[i] à une valeur infinie pour i > 0.

2 - Remplissage : Pour chaque somme i de 1 à la somme_cible, et pour chaque pièce c, appliquer l'étape 3

3 - Si c <= i, alors dp[i] = min(dp[i], dp[i - c] + 1)

4 - La valeur dp[somme_cible] donne le nombre minimal de pièces nécessaires

Cette approche garantit l'optimalité au prix d'un coût de calcul plus élevé.