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Conversion en Base N

Outil de changement de base / conversion / écriture de nombres en base N. En arithmétique, une base désigne la valeur des puissances successives intervenant dans l'écriture d'un nombre.

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Conversion en Base N -

Catégorie(s) : Arithmétique

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Conversion en Base N

Calcul de Changement de Base (avancé)







Conversion de Base 10 vers Base N



Outil de changement de base / conversion / écriture de nombres en base N. En arithmétique, une base désigne la valeur des puissances successives intervenant dans l'écriture d'un nombre.

Réponses aux Questions

Quels sont les symboles utilisés par défaut ?

Un nombre en base 10 s'écrit avec les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Pour les autres bases, il est d'usage d'utiliser des lettres, et plus précisément les caractères suivants : 0123456789abcdefghijklmnopqrstuvwxyzABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ (Attention aux Majuscules et minuscules à partir de la base 37) afin d'écrire des nombres jusqu'en base 62.

Comment convertir d'une base à une autre ?

Un nombre $ N $ dans une base $ b $ peut s'écrire sous la forme d'une addition de puissances de cette base $ n $.

Exemple : Le nombre $ N = 123_{(10)} $ (base 10) vérifie l'égalité $$ N = 789 = 7 \times 100 + 8 \times 10 + 9 \times 1 = 7 \times 10^2 + 8 \times 10^1 + 9 \times 10^0 $$

$ N= $$ c2 $$ c1 $$ c0 $
$ 789 $$ 7 $$ 8 $$ 9 $

Soit un nombre $ N $ composé de $ n $ chiffres $ { c_{n-1}, c_{n-2}, ..., c_2, c_1, c_0 } $ en base $ b $, alors peut l'écrire comme un polynôme avec les chiffres comme coefficients et la base b comme inconnue :

$$ N_{(b)} = \{ c_{n-1}, ..., c_1, c_0 \}_{(b)} = c_{n-1} \times b^{n-1} + ... + c_1 \times b^1 + c_0 \times b^0 $$

Pour calculer un changement de base, utiliser la base $ 10 $ comme référence, ou comme intermédiaire.

Exemple : Pour changer de la base $ 3 $ à la base $ 7 $, calculer de la base $ 3 $ à la base $ 10 $, puis de la base $ 10 $ à la base $ 7 $.

Comment convertir de la base 10 à une base n ?

Utiliser l'algorithme suivant pour convertir de la base $ 10 $ à une base $ n $ :

$$ q_0=n; i=0; \mbox{ tant que } q_i > 0 \mbox{ faire } (r_i = q_i \mbox{ mod } b; q_{i+1}= q_i \mbox{ div } b ; i = i+1 ) $$

Le nombre converti est composé des chiffres $ r_{i=0...n-1} $ obtenus (avec $ r_0 $ le chiffre des unités).

Exemple : $ N = 123_{(10)} $ (base 10) is converted to base $ 7 $ :

$$ q_0 = 123 \\ r_0 = 123 \mbox{ mod } 7 = 4 \;\;\; q_1 = 123 \mbox{ div } 7 = 17 \\ r_1 = 17 \mbox{ mod } 7 = 3 \;\;\; q_1 = 17 \mbox{ div } 7 = 2 \\ r_2 = 2 \mbox{ mod } 7 = 2 \;\;\; q_2 = 2 \mbox{ div } 7 = 0 \\ 123_{(10)} = 234_{(7)} $$

Comment convertir d'une base n à la base 10 ?

Pour convertir un nombre $ N_1 $ écrit en base $ b $ en un nombre $ N_2 $ écrit en base $ 10 $, utiliser le fait que le nombre $ N_1 $ est composé de $ n $ chiffres $ { c_{n-1}, c_{n-2}, ..., c_1, c_0 } $ et utiliser l'algorithme suivant :

$$ N_2 = c_{n-1} ; \mbox{ for } ( i=n-2 \mbox{ to } 1 ) \mbox{ do } N_2=N_2 \times b+c_i $$

Le nombre $ N_2 $ obtenu est alors écrit en base $ 10 $.

L'algorithme est équivalent à faire le calcul $$ (( c_{n-1} \times b + c_{n-2} ) \times b + c_{n-3} ) ... ) \times b + c_0 $$

Exemple : Soit le nombre $ 123_{(7)} $ (en base $ 7 $), appliquer l'algorithme de conversion :

$$ 123 = \{1,2,3\} \\ N = 1 \\ N = 1*7+2 = 9 \\ N = 9*7+3 = 66 \\ N = 123_{(7)} = 66_{(10)} $$

Donc $ 123_{(7)} $ est égal à $ 66_{(10)} $ en base $ 10 $.

Quelles sont les bases usuelles ?

- base 2 (système binaire - base2) utilisée en informatique

- base 3 (système trinaire - base3)

- base 8 (système octal - base8)

- base 9 (système nonaire - base9)

- base 10 (système décimal - base10)

- base 12 (système duodécimal - base12), pour compter les heures ou les mois

- base 16 (système hexadécimal - base16) utilisée en informatique et les octets

- base 20 (système vigésimal - base20) utilisée par les numérations Mayas et les Aztèques

- base 26 (système alphabétique - base26)

- base 36 (système alphanumérique - base36)

- base 60 (système sexagésimal - base60) utilisée dans la mesure des minutes et des secondes et par les Sumériens et la numération babylonienne.

- base 62 (système alphanumérique complet - base62)

Toutes les bases peuvent être utilisées pour du codage informatique ou tout autre problème mathématique.

Exemple : Encoder et décoder la base64 est courant sur Internet.

Code source

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Questions / Commentaires

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Source : https://www.dcode.fr/conversion-base-n
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