Conversion en Base N

Quand on écrit un nombre en base 10 on utilise les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Pour les autres bases, il est d'usage d'utiliser les caractères suivants : 0123456789abcdefghijklmnopqrstuvwxyzABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ (Attention aux Majuscules et minuscules à partir de la base 37)

Un nombre \( N \) dans une base \( b \) peut s'écrire sous la forme d'une addition de puissances de cette base \( n \).

Exemple : Le nombre \( N = 123_{(10)} \) (base 10) vérifie l'égalité $$ N = 789 = 7 \times 100 + 8 \times 10 + 7 \times 1 = 7 \times 10^2 + 8 \times 10^1 + 7 \times 10^0 $$

Soit un nombre \( N \) composé de \( n \) chiffres \( { c_{n-1}, c_{n-2}, ..., c_2, c_1, c_0 } \) en base \( b \), alors peut l'écrire comme un polynôme avec les chiffres comme coefficients et la base b comme inconnue :

$$ N_{(b)} = \{ c_{n-1}, ..., c_1, c_0 \}_{(b)} = c_{n-1} \times b^{n-1} + ... + c_1 \times b^1 + c_0 \times b^0 $$

Pour calculer un changement de base, on utilisera généralement la base \( 10 \) comme référence, ou comme intermédiaire.

Exemple : Pour changer de la base \( 3 \) à la base \( 7 \), généralement on calculera de la base \( 3 \) à la base \( 10 \), puis de la base \( 10 \) à la base \( 7 \).

Utiliser l'algorithme suivant pour convertir de la base \( 10 \) à une base \( n \) :

$$ q_0=n; i=0; \mbox{ tant que } q_i > 0 \mbox{ faire } (r_i = q_i \mbox{ mod } b; q_{i+1}= q_i \mbox{ div } b ; i = i+1 ) $$

Le nombre converti est composé des chiffres \( r_{i=0...n-1} \) obtenus (avec \( r_0 \) le chiffre des unités).

Exemple : \( N = 123_{(10)} \) (base 10) is converted in base \( 7 \) :

$$ q_0 = 123 \\ r_0 = 123 \mbox{ mod } 7 = 4 \;\;\; q_1 = 123 \mbox{ div } 7 = 17 \\ r_1 = 17 \mbox{ mod } 7 = 3 \;\;\; q_1 = 17 \mbox{ div } 7 = 2 \\ r_2 = 2 \mbox{ mod } 7 = 2 \;\;\; q_2 = 2 \mbox{ div } 7 = 0 \\ 123_{(10)} = 234_{(7)} $$

Pour convertir un nombre \( N_1 \) écrit en base \( b \) en un nombre \( N_2 \) écrit en base \( 10 \), on va utiliser le fait que le nombre \( N_1 \) soit composé de \( n \) chiffres \( { c_{n-1}, c_{n-2}, ..., c_1, c_0 } \) et on utilise l'algorithme suivant :

$$ N_2 = c_{n-1} ; \mbox{ for } ( i=n-2 \mbox{ to } 1 ) \mbox{ do } N_2=N_2 \times b+c_i $$

Le nombre \( N_2 \) obtenu est alors écrit en base \( 10 \).

L'algorithme est équivalent à faire le calcul $$ (( c_{n-1} \times b + c_{n-2} ) \times b + c_{n-3} ) ... ) \times b + c_0 $$

Exemple : Soit le nombre \( 123_{(7)} \) (en base \( 7 \)), on applique l'algorithme de conversion :

$$ 123 = \{1,2,3\} \\ N = 1 \\ N = 1*7+2 = 9 \\ N = 9*7+3 = 66 \\ N = 123_{(7)} = 66_{(10)} $$

Donc \( 123_{(7)} \) est égal à \( 66_{(10)} \) en base \( 10 \).

- base 2 (système binaire) utilisée en informatique

- base 3 (système trinaire)

- base 8 (système octal)

- base 9 (système nonaire)

- base 10 (système décimal)

- base 12 (système duodécimal), pour compter les heures ou les mois

- base 16 (système hexadécimal) utilisée en informatique et les octets

- base 20 (système vigésimal) utilisée par les numérations Mayas et les Aztèques

- base 26 (système alphabétique)

- base 36 (système alphanumérique)

- base 60 (système sexagésimal) utilisée dans la mesure des minutes et des secondes et par les Sumériens et la numération babylonienne.

- base 62 (système alphanumérique complet)