Conversion en Base N

Un nombre en base 10 s'écrit avec les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Pour les autres bases, il est d'usage d'utiliser des lettres, et plus précisément les caractères suivants : 0123456789abcdefghijklmnopqrstuvwxyzABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ (Attention aux Majuscules et minuscules à partir de la base 37) afin d'écrire des nombres jusqu'en base 62.

Un nombre $ N $ dans une base $ b $ peut s'écrire sous la forme d'une addition de puissances de cette base $ n $.

Exemple : Le nombre $ N = 123_{(10)} $ (base 10) vérifie l'égalité $$ N = 789 = 7 \times 100 + 8 \times 10 + 9 \times 1 = 7 \times 10^2 + 8 \times 10^1 + 9 \times 10^0 $$

Soit un nombre $ N $ composé de $ n $ chiffres $ { c_{n-1}, c_{n-2}, ..., c_2, c_1, c_0 } $ en base $ b $, alors peut l'écrire comme un polynôme avec les chiffres comme coefficients et la base b comme inconnue :

$$ N_{(b)} = \{ c_{n-1}, ..., c_1, c_0 \}_{(b)} = c_{n-1} \times b^{n-1} + ... + c_1 \times b^1 + c_0 \times b^0 $$

Pour calculer un changement de base, utiliser la base $ 10 $ comme référence, ou comme intermédiaire.

Exemple : Pour changer de la base $ 3 $ à la base $ 7 $, calculer de la base $ 3 $ à la base $ 10 $, puis de la base $ 10 $ à la base $ 7 $.

Utiliser l'algorithme suivant pour convertir de la base $ 10 $ à une base $ n $ :

$$ q_0=n; i=0; \mbox{ tant que } q_i > 0 \mbox{ faire } (r_i = q_i \mbox{ mod } b; q_{i+1}= q_i \mbox{ div } b ; i = i+1 ) $$

Le nombre converti est composé des chiffres $ r_{i=0...n-1} $ obtenus (avec $ r_0 $ le chiffre des unités).

Exemple : $ N = 123_{(10)} $ (base 10) is converted to base $ 7 $ :

$$ q_0 = 123 \\ r_0 = 123 \mbox{ mod } 7 = 4 \;\;\; q_1 = 123 \mbox{ div } 7 = 17 \\ r_1 = 17 \mbox{ mod } 7 = 3 \;\;\; q_1 = 17 \mbox{ div } 7 = 2 \\ r_2 = 2 \mbox{ mod } 7 = 2 \;\;\; q_2 = 2 \mbox{ div } 7 = 0 \\ 123_{(10)} = 234_{(7)} $$

Pour convertir un nombre $ N_1 $ écrit en base $ b $ en un nombre $ N_2 $ écrit en base $ 10 $, utiliser le fait que le nombre $ N_1 $ est composé de $ n $ chiffres $ { c_{n-1}, c_{n-2}, ..., c_1, c_0 } $ et utiliser l'algorithme suivant :

$$ N_2 = c_{n-1} ; \mbox{ for } ( i=n-2 \mbox{ to } 1 ) \mbox{ do } N_2=N_2 \times b+c_i $$

Le nombre $ N_2 $ obtenu est alors écrit en base $ 10 $.

L'algorithme est équivalent à faire le calcul $$ (( c_{n-1} \times b + c_{n-2} ) \times b + c_{n-3} ) ... ) \times b + c_0 $$

Exemple : Soit le nombre $ 123_{(7)} $ (en base $ 7 $), appliquer l'algorithme de conversion :

$$ 123 = \{1,2,3\} \\ N = 1 \\ N = 1*7+2 = 9 \\ N = 9*7+3 = 66 \\ N = 123_{(7)} = 66_{(10)} $$

Donc $ 123_{(7)} $ est égal à $ 66_{(10)} $ en base $ 10 $.

- base 2 (système binaire - base2) utilisée en informatique

- base 3 (système trinaire - base3)

- base 8 (système octal - base8)

- base 9 (système nonaire - base9)

- base 10 (système décimal - base10)

- base 12 (système duodécimal - base12), pour compter les heures ou les mois

- base 16 (système hexadécimal - base16) utilisée en informatique et les octets

- base 20 (système vigésimal - base20) utilisée par les numérations Mayas et les Aztèques

- base 26 (système alphabétique - base26)

- base 36 (système alphanumérique - base36)

- base 60 (système sexagésimal - base60) utilisée dans la mesure des minutes et des secondes et par les Sumériens et la numération babylonienne.

- base 62 (système alphanumérique complet - base62)

Toutes les bases peuvent être utilisées pour du codage informatique ou tout autre problème mathématique.

Exemple : Encoder et décoder la base64 est courant sur Internet.