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Loi Binomiale

Outil pour réaliser des calculs de probabilité avec la loi binomiale, nombre de k succès, chances moyenne, etc.

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Loi Binomiale -

Catégorie(s) : Combinatoire

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Loi Binomiale

Probabilité de K succès

(alias) Fonction de Masse













Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est ce que la loi binomiale ? (Définition)

La loi binomiale est un modèle (une loi de probabilité) qui permet une représentation du nombre moyen de succès (ou d'échecs) obtenus avec un répétition d'essais successifs indépendants.

$$ P(X=k) = {n \choose k} \, p^{k} (1-p)^{n-k} $$

avec $ k $ le nombre de succès, $ n $ le nombre d'essai/expériences/tentatives au total, et $ p $ la probabilité de succès (et donc $ 1-p $ la probabilité d'échec).

Quand utiliser la loi binomiale ?

La loi binomiale peut être utilisée dans les situations à 2 éventualités (succès ou échec, vrai ou faux, pile ou face etc) qui peuvent être répétées et indépendantes.

Exemple : Calcul de la probabilité de sortir 4 fois le chiffre 6 lors de 5 lancers de dé successifs : la probabilité $ p $ de faire 6 est de $ 1/6 $, le nombre total d'essai est $ n = 5 $, le nombre de succès attendu est $ k = 4 $. $$ P(X=4) = {5 \choose 4} \, \left(\frac{1}{6}\right)^4 \left(1-\frac{1}{6}\right)^{5-4} = {5 \choose 4} \left(\frac{1}{6}\right)^4 \left(\frac{5}{6}\right)^1 = \frac{5^2}{6^5} \approx 0.00321 \approx 0.3% $$

Les exercices faisant intervenir la loi binomiale ressemblent à :

— Une personne tire au hasard 10 fois une carte dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité qu'elle tire au moins 7 cartes de couleur rouge ?

— Un joueur de basket réussit 60% de ses lancers francs. Si le joueur tente 10 lancers francs, quelle est la probabilité qu'il en réussisse exactement 8 ?

— Un commerçant a un taux de conversion de 10% sur son site de vente en ligne. Si 200 personnes visitent son site, quelle est la probabilité que 50% effectuent un achat ?

— Un médicament a un taux de réussite de 75% pour soulager une maladie. Si on en administre à 10 patients, quelle est la probabilité qu'au moins 8 patients se sentent mieux après avoir pris le médicament ?

Pourquoi la loi s'appelle binomiale ?

La formule de la loi binomiale fait intervenir le coefficient binomial $ {n \choose k} $ (qui se lit combinaison de $ k $ parmi $ n $).

Elle est parfois appellée distribution binomiale, et est étroitement liée à la loi de Bernoulli.

Quelles sont les propriétés de la loi binomiale ?

L'espérance (la moyenne des résultats positifs) est égale à $ E(X) = n \times p $

La variance est égale à $ V(X) = n p (1-p) $

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Citer comme source bibliographique :
Loi Binomiale sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 16/06/2024, https://www.dcode.fr/loi-binomiale

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