Loi Binomiale

La loi binomiale est un modèle qui permet une représentation du nombre moyen de succès obtenus avec un répétition d'essais successifs indépendants.

$$ P(X=k) = {n \choose k} \, p^{k} (1-p)^{n-k} $$

avec $ k $ le nombre de succès, $ n $ le nombre d'essai/expériences/tentatives au total, et $ p $ la probabilité de succès (et donc $ 1-p $ la probabilité d'échec).

La loi binomiale peut être utilisée dans les situations à 2 éventualités (succès ou échec, vrai ou faux, pile ou face etc) qui peuvent être répétées et indépendantes.

Exemple : Calcul de la probabilité de sortir 4 fois le chiffre 6 lors de 5 lancers de dé successifs : la probabilité $ p $ de faire 6 est de $ 1/6 $, le nombre total d'essai est $ n = 5 $, le nombre de succès attendu est $ k = 4 $. $$ P(X=4) = {5 \choose 4} \, \left(\frac{1}{6}\right)^4 \left(1-\frac{1}{6}\right)^{5-4} = {5 \choose 4} \left(\frac{1}{6}\right)^4 \left(\frac{5}{6}\right)^1 = \frac{5^2}{6^5} \approx 0.00321 \approx 0.3% $$

La formule de la loi binomiale fait intervenir le coefficient binomial $ {n \choose k} $ (qui se lit combinaison de $ k $ parmi $ n $).