Coefficient Binomial

Le coefficient binomial s'écrit \( {n \choose k} \) ou \( C_{n}^{k} \) et est défini par la formule $$ {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

Avec \( n! \) la factorielle de n.

Le coefficient binomial utilise des fonctions factorielles dont les valeurs se simplifient :

Exemple : \( {10 \choose 6} = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 }{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \)

Les valeurs du coefficient binomial apparaissent dans le développement du binome de Newton : $$ (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}a^{{n-k}}b^{k} $$

Exemple : $$ (x+y)^{4} = x^4 + {4 \choose 1} x^3 y + {4 \choose 2} x^2 y^2 + {4 \choose 1} x y^3 + y^4 = x^4 + 4 x^3 y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4 $$

Les formules suivantes sont utilisées :

$$ {n \choose k} = {n \choose n-k} $$

$$ {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1} $$

$$ {n \choose k} = {\frac{n}{k}}{n-1 \choose k-1} $$

Le coefficient binomial est utilisé principalement dans les calculs de dénombrements et de probabilités. C'est la base de calcul du nombre de combinaisons de k éléments parmi n.

Exemple : Le nombre de combinaisons au loto est de 5 parmi 49 soit \( {49 \choose 5} = 1906884 \) combinaisons possibles.