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Coefficient Binomial

Outil pour calculer les valeurs du coefficient binomial (opérateur de combinaisons) utilisé pour le développement du binome mais aussi pour les dénombrements ou les probabilités.

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Coefficient Binomial -

Catégorie(s) : Combinatoire

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Coefficient Binomial

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Calculatrice de Coefficient Binomial

Combinaison de k parmi n \( n \choose k \) ou \( C_{n}^{k} \)



Outil pour calculer les valeurs du coefficient binomial (opérateur de combinaisons) utilisé pour le développement du binome mais aussi pour les dénombrements ou les probabilités.

Réponses aux Questions

Qu'est ce que le coefficient binomial ? (Définition)

Le coefficient binomial s'écrit \( {n \choose k} \) ou \( C_{n}^{k} \) et est défini par la formule $$ {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

Avec \( n! \) la factorielle de n.

Comment calculer un coefficient binomial ?

Le coefficient binomial utilise des fonctions factorielles dont les valeurs se simplifient :

Exemple : \( {10 \choose 6} = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 }{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \)

Pourquoi le coefficient binomial s'appelle ainsi ?

Les valeurs du coefficient binomial apparaissent dans le développement du binome de Newton : $$ (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}a^{{n-k}}b^{k} $$

Exemple : $$ (x+y)^{4} = x^4 + {4 \choose 1} x^3 y + {4 \choose 2} x^2 y^2 + {4 \choose 1} x y^3 + y^4 = x^4 + 4 x^3 y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4 $$

Quelles sont les propriétés du coefficient binomial ?

Les formules suivantes sont utilisées :

$$ {n \choose k} = {n \choose n-k} $$

$$ {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1} $$

$$ {n \choose k} = {\frac{n}{k}}{n-1 \choose k-1} $$

Quand utiliser le coefficient binomial ?

Le coefficient binomial est utilisé principalement dans les calculs de dénombrements et de probabilités. C'est la base de calcul du nombre de combinaisons de k éléments parmi n.

Exemple : Le nombre de combinaisons au loto est de 5 parmi 49 soit \( {49 \choose 5} = 1906884 \) combinaisons possibles.

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