Outil pour calculer les valeurs du coefficient binomial (opérateur de combinaisons) utilisé pour le développement du binôme mais aussi pour les dénombrements ou les probabilités.
Coefficient Binomial - dCode
Catégorie(s) : Combinatoire
dCode est gratuit et ses outils sont une aide précieuse dans les jeux, les maths, les énigmes, les géocaches, et les problèmes à résoudre au quotidien !
Une suggestion ? un problème ? une idée ? Ecrire à dCode !
Coefficient Binomial
Calculateur de Coefficient Binomial
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce que le coefficient binomial ? (Définition)
Le coefficient binomial s'écrit $ {n \choose k} $ ou $ C_{n}^{k} $ se lit $ k $ parmi $ n $ et est défini par la formule $$ {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$
Avec $ n! $ la factorielle de n.
Comment calculer un coefficient binomial ?
Le coefficient binomial utilise des fonctions factorielles dont les valeurs se simplifient :
Exemple : $ {10 \choose 6} = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 }{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 $
Pourquoi le coefficient binomial s'appelle ainsi ?
Les valeurs du coefficient binomial apparaissent dans le développement du binome de Newton : $$ (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}a^{{n-k}}b^{k} $$
Exemple : $$ (x+y)^{4} = x^4 + {4 \choose 1} x^3 y + {4 \choose 2} x^2 y^2 + {4 \choose 3} x y^3 + y^4 = x^4 + 4 x^3 y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4 $$
Comment calculer le coefficient binomial avec le triangle de Pascal ?
La valeur du coefficient binomial $$ \binom{A}{B} $$ se trouve dans le triangle de Pascal à la ligne A, colonne colonne B (en ligne et colonne indexée en 0).
Quelles sont les propriétés du coefficient binomial ?
Les formules suivantes sont utilisées pour les coefficients binomiaux:
$$ {n \choose k} = {n \choose n-k} $$
$$ {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1} $$
$$ {n \choose k} = {\frac{n}{k}}{n-1 \choose k-1} $$
Quand utiliser le coefficient binomial ?
Le coefficient binomial est utilisé principalement dans les calculs de dénombrements et de probabilités. C'est la base de calcul du nombre de combinaisons de k éléments parmi n.
Exemple : Le nombre de combinaisons au loto est de 5 parmi 49 soit $ {49 \choose 5} = 1906884 $ combinaisons possibles.
Code source
dCode se réserve la propriété du code source pour "Coefficient Binomial". Sauf code licence open source explicite (indiqué Creative Commons / gratuit), l'algorithme pour "Coefficient Binomial", l'applet ou snippet (convertisseur, solveur, chiffrement / déchiffrement, encodage / décodage, encryptage / décryptage, traducteur) ou les fonctions liées à "Coefficient Binomial" (calculer, convertir, résoudre, décrypter / encrypter, déchiffrer / chiffrer, décoder / encoder, traduire) codés en langage informatique (Python, Java, C#, PHP, Javascript, Matlab, etc.) ou les données, en téléchargement, script, ou les accès API à "Coefficient Binomial" ne sont pas publics, idem pour un usage hors ligne, PC, tablette, appli iPhone ou Android !
Le copier-coller de la page "Coefficient Binomial" ou de ses résultats est autorisée tant que vous citez la source en ligne
Rappel : dCode est gratuit.
- Calculateur de Coefficient Binomial
- Qu'est ce que le coefficient binomial ? (Définition)
- Comment calculer un coefficient binomial ?
- Pourquoi le coefficient binomial s'appelle ainsi ?
- Comment calculer le coefficient binomial avec le triangle de Pascal ?
- Quelles sont les propriétés du coefficient binomial ?
- Quand utiliser le coefficient binomial ?
