Division Polynomiale

La division polynomiale est une opération algébrique permettant de diviser un polynôme $ A(x) $ (appelé dividende) par un autre polynôme non nul $ B(x) $ (appelé diviseur), afin d'obtenir un quotient $ Q(x) $ et un reste $ R(x) $ tels que $$ A(x) = B(x) \times Q(x) + R(x) $$

Cette opération généralise la division euclidienne des nombres entiers aux polynômes.

La procédure de division longue passe par 3 étapes :

— a) Diviser le terme de plus haut degré du dividende par le terme de plus haut degré du diviseur, le quotient partiel optenu devient le premier terme de $ Q(x) $

— b) Multiplier tout le diviseur par ce quotient partiel

— c) Soustraire ce produit du dividende, ce qui donne un reste partiel

Répéter les étapes a,b,c jusqu'à ce que le degré du reste soit inférieur à celui du diviseur (ou que le reste soit nul)

Si $ B(x) $ divise $ A(x) $ sans reste, alors $ B(x) $ est un facteur de $ A(x) $

Si le diviseur est un monôme ou un simple monôme de type $ ax^k $, il est possible de diviser chaque terme du dividende par ce monôme séparément.

C'est une division plus simple que la longue division, souvent utilisée comme cas particulier.