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Algorithme de Kaprekar

Outil appliquant l'algorithme de Kaprekar. Il utilise un entier N, et range ses chiffres en ordre croissant et décroissant avant de les soustraire.

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Algorithme de Kaprekar -

Catégorie(s) : Arithmétique, Algorithme

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Algorithme de Kaprekar

Calcul par l'Algorithme de Kaprekar


Réponses aux Questions (FAQ)

Comment calculer la suite de Kaprekar ? (Principe de calcul)

La routine de Kaprekar consiste à former à partir d'un nombre $ N $, 2 autres nombres $ N_1 $ et $ N_2 $ en arrangeant les chiffres de $ N $ selon un tri par ordre croissant pour $ N_1 $ et décroissant pour $ N_2 $. Kaprekar forme ensuite un nouveau nombre $ N $ tel que $ N_2-N_1 = N $ et répète le processus jusqu'à arriver à un nombre précédemment trouvé.

Exemple : $ N = 7533 $, $ N_1 = 3357 $, $ N_2 = 7533 $, remplacer $ N $ par $ 7533 - 3357 = 4176 $
$ N = 4176 $, $ N_1 = 1467 $, $ N_2 = 7641 $ puis remplacer $ N $ par $ 7641 - 1467 = 6174 $
$ N = 6174 $, $ N_1 = 1467 $, $ N_2 = 7641 $ remplacer $ N $ par $ 7641 - 1467 = 6174 $, ce qui créé boucle infinie sur la constante 6174, qui est la constante de Kaprekar pour 4 chiffres.

Quels sont les constantes et les cycles de Kaprekar ?

Les cycles sont des répétitions de valeurs ou des constantes apparaissant dans l'algorithme en fonction de la taille du nombre $ N $.

Nombre de chiffresConstante/Cycle
3495
46174
553955, 59994 ou 62964, 71973, 83952, 74943 ou 61974, 82962, 75933, 63954
6420876, 851742, 750843, 840852, 860832, 862632, 642654 ou 631764 ou 549945
77509843, 9529641, 8719722, 8649432, 7519743, 8429652, 7619733, 8439552
843208766, 85317642, 75308643, 84308652, 86308632, 86326632, 64326654 ou 64308654, 83208762, 86526432 ou 97508421 ou 63317664

Lorsqu'un de ces nombre est atteint, soit il reste constant, soit il suit le cycle en bouclant à l'infini.

Comment prouver que 6174 est la seule constante de Kaprekar à 4 chiffres ?

La preuve mathématique de l'existence de 6174 comme seul nombre point fixe de l'algorithme est un peu longue et consiste à dénombrer quelques cas possible et prouver qu'un seul n'a pas de contradiction. La preuve : ici

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Citer comme source bibliographique :
Algorithme de Kaprekar sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 29/03/2024, https://www.dcode.fr/algorithme-kaprekar

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