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Conjecture de Pólya

Outil algorithmique pour infirmer la conjecture de Polya. La conjecture de Polya propose que le la majorité des nombres de facteurs premiers des nombres inférieurs à un entier précis est impaire.

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Conjecture de Pólya -

Catégorie(s) : Arithmétique, Algorithme

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Conjecture de Pólya

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Enoncé de la Conjecture

En théorie des nombres, la conjecture de Pólya, proposée par le mathématicien hongrois George Pólya en 1919, stipule que pour tout entier $ N $, dans la décomposition en facteurs premiers des entiers naturels inférieurs à $ N $, il y a d'avantage de décompositions avec un nombre impair de facteurs que de décompositions avec un nombre pair de facteurs.

Cette conjecture est fausse, le premier contre-exemple est $ N = 906150257 $

Outil algorithmique pour infirmer la conjecture de Polya. La conjecture de Polya propose que le la majorité des nombres de facteurs premiers des nombres inférieurs à un entier précis est impaire.

Réponses aux Questions

Comment prouver la conjecture de Polya ?

Démontrer qu'une conjecture est vraie nécessite une démonstration mathématique rigoureuse. Pour démontrer que la conjecture est fausse, il est suffisant de donner un contre exemple.

Exemple : Pour $ N = 10 $, il y a 5 décompositions avec un nombre impair de facteurs pour les nombres $ 8, 7, 5, 3, 2 $, et 4 décompositions avec un nombre pair de facteurs : $ 9, 6, 4, 1 $. Comme $ 5 > 4 $, la conjecture est vraie pour $ N = 10 $, mais ça ne veut pas dire qu'elle est vraie pour tout $ N $.

Quel est le premier contre-exemple ?

La conjecture de Polya a été réfutée en 1958, elle est donc fausse. Le plus petit contre-exemple est le nombre $ 906150257 $.

Quel est l'algorithme de vérification ?

L'algorithme correspondant à la vérification de la conjecture est similaire à celui-ci : // Javascript
var pair = 1;
var impair = 0;
var d = new Array();
for (i = 2; i < 4000000000; i++) {
d = decomposition_facteurs_premiers(i); // renvoie un tableau avec tous les facteurs
if (d.length % 2) impair++;
else pair++;
if (pair > impair) {
alert(i);
break;
}

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Source : https://www.dcode.fr/conjecture-polya
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