Outil et algorithme pour infirmer la conjecture de Polya. La conjecture de Polya propose que la majorité des valeurs du dénombrements de facteurs premiers parmi les nombres inférieurs à un entier précis est impaire.
Conjecture de Pólya - dCode
Catégorie(s) : Arithmétique, Algorithme
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Conjecture de Pólya
Enoncé de la Conjecture
En théorie des nombres, la conjecture de Pólya, proposée par le mathématicien hongrois George Pólya en 1919, indique : Pour tout entier $ N > 1 $, l'ensemble des décompositions en facteurs premiers des entiers naturels positifs inférieurs à $ N $ se compose d'avantage de décompositions avec un nombre impair de facteurs que de décompositions avec un nombre pair de facteurs.
Cette conjecture est fausse, le premier contre-exemple est $ N = 906150257 $. Le plus petit contre-exemple étant assez grand, celui-ci est souvent utilisée pour montrer qu'une conjecture peut être vérifiée plusieurs millions de fois tout en étant fausse.
Réponses aux Questions (FAQ)
Comment prouver la conjecture de Polya ?
Démontrer qu'une conjecture est vraie nécessite une démonstration mathématique rigoureuse. Pour démontrer que la conjecture est fausse, il est suffisant de donner un contre exemple.
Exemple : Pour $ N = 10 $, il y a 5 décompositions avec un nombre impair de facteurs pour les nombres $ 8, 7, 5, 3, 2 $, et 4 décompositions avec un nombre pair de facteurs : $ 9, 6, 4, 1 $. Comme $ 5 > 4 $, la conjecture est vraie pour $ N = 10 $, mais ça ne veut pas dire qu'elle est vraie pour tout $ N $.
Le nombre 1 n'a pas de facteurs premiers, donc 0 facteur, sa décomposition est considérée comme paire.
Quel est le premier contre-exemple ?
La conjecture de Polya a été réfutée en 1958, elle est donc fausse.
Le plus petit contre-exemple est le nombre $ 906150257 $.
Quel est l'algorithme de vérification ?
L'algorithme correspondant à la vérification de la conjecture est similaire à celui-ci : // Javascript
var even = 1; // number 1
var odd = 0;
var factors = [];
for (i = 2; i < 1000000000; i++) {
factors = prime_factors(i); // return [factor1, factor2, ...]
if (factors.length % 2) odd++;
else even++;
if (even > odd) {
alert(i);
break;
}
}
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