Conjecture de Syracuse

Prendre un nombre nombre $ n $ (entier positif non nul), si $ n $ est pair, le diviser par $ 2 $, sinon multiplier par $ 3 $ et ajouter $ 1 $. Recommencer avec le résultat jusqu'à obtenir $ 1 $.

Mathématiquement l'algorithme est défini par la fonction $ f $ : $$ f_{3n+1}(n)= \begin{cases}{ \frac{n}{2}} & {\text{si }}n \equiv 0 \mod{2} \\ 3n+1 & {\text{si }} n \equiv 1 \mod{2} \end{cases} $$

Exemple : $ n=10 $, $ 10 $ est pair, le diviser par $ 2 $ et obtenir $ 5 $,
$ 5 $ est impair le multiplier par $ 3 $ et ajouter $ 1 $ pour obtenir $ 16 $,
Continuer ainsi de suite pour obtenir $ 8 $, $ 4 $, $ 2 $ et enfin $ 1 $.

La conjecture de Syracuse (ou Collatz) stipule que l'algorithme 3n+1 finira toujours par atteindre le chiffre 1.

Certains nombres ont des trajectoires surprenantes comme 27, 255, 447, 639 ou 703

Non, personne n'a trouvé de nombre pour lequel ça ne fonctionne pas mais personne n'a trouvé de preuve mathématique que la conjecture fonctionne toujours.

C'est pourquoi la conjecture s'appelle aussi problème de Syracuse ou problème de Collatz et qu'il ne s'agit pas d'un théorème.

Un nombre n'apparait jamais 2 fois dans la suite.

Toute suite se termine par une série de puissance de 2.

Un nombre impair est toujours suivi d'un nombre pair.

Les nombres 5 et 32 donnent la même suite.

// Algorithme Javascript
function syracuse(n) {
if (n%2 == 0) return n/2;
return 3*n+1;
}
function syracuse_temps_vol(n) {
var nb = 1;
while (n != 1) {
n = syracuse(n);
nb++;
}
return nb;
}
// Algo Python
def syracuse(x):
while x != 1:
if x % 2 > 0:
x =((3 * x) + 1)
list_.append(x)
else:
x = (x / 2)
list_.append(x)
return list_


D'autres noms de la conjecture/problème de Syracuse sont utilisés dans la littérature :

- conjecture de Collatz

- conjecture d'Ulam

- conjecture d'Hailstone

- conjecture tchèque

- problème 3x+1

- algorithme de Hasse

- problème de Kakutani

- conjecture de Thwaite

Ce tableau regroupe tous les nombres jusqu'à 1000 sous la forme (temps de vol => nombres ayant ce temps de vol)

Ce tableau regroupe tous les nombres jusqu'à 1000 sous la forme (altitude maxi de vol => nombres ayant cette altitude maxi)

Formulée en 1937 par Lothar Collatz (mathématicien allemand), elle reste à ce jour irrésolue : personne n'a encore pu prouver que cette conjecture se termine toujours par 1.