Conjecture de Syracuse

Prendre un nombre $ n $ (entier positif non nul), si $ n $ est pair, le diviser par $ 2 $, sinon multiplier par $ 3 $ et ajouter $ 1 $. Recommencer avec le résultat jusqu'à obtenir le nombre $ 1 $.

Mathématiquement l'algorithme est défini par la fonction $ f $ : $$ f_{3n+1}(n) = \begin{cases}{ \frac{n}{2}} & {\text{si }}n \equiv 0 \mod{2} \\ 3n+1 & {\text{si }} n \equiv 1 \mod{2} \end{cases} $$

La suite est généralement considérée comme terminée à 1, car sinon, les nombre suivants sont 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1 qui se répètent à l'infini.

La conjecture de Syracuse (ou Collatz) stipule que l'algorithme 3n+1 finira toujours par atteindre le chiffre 1.

Non, personne n'a trouvé de nombre pour lequel ça ne fonctionne pas mais personne n'a trouvé de preuve mathématique que la conjecture fonctionne toujours.

C'est pourquoi la conjecture s'appelle aussi problème de Syracuse ou problème de Collatz et qu'il ne s'agit pas d'un théorème.

Toute personne trouvant un nombre qui ne termine pas à 1 aura alors résolu la conjecture en prouvant qu'elle est fausse.

Non, il y a eu récemment quelques avancées réelles mais la conjecture de Syracuse demeure non résolue malgré des dizaines des pseudo-scientifiques qui ont prétendu avoir une preuve.

Un nombre n'apparait jamais 2 fois dans la suite.

Toute suite se termine par une série de puissance de 2.

Un nombre impair est toujours suivi d'un nombre pair.

Les nombres 5 et 32 donnent la même suite.

// Algorithme Javascript
function syracuse(n) {
if (n%2 == 0) return n/2;
return 3*n+1;
}
function syracuse_temps_vol(n) {
var nb = 1;
while (n != 1) {
n = syracuse(n);
nb++;
}
return nb;
}
// Algo Python
def syracuse(x):
while x != 1:
if x % 2 > 0:
x =((3 * x) + 1)
list_.append(x)
else:
x = (x / 2)
list_.append(x)
return list_


D'autres noms de la conjecture/problème de Syracuse sont utilisés dans la littérature :

— conjecture de Collatz

— conjecture d'Ulam

— conjecture de Hailstone

— conjecture tchèque

— problème 3x+1 (ou 3n+1)

— algorithme de Hasse

— problème de Kakutani

— conjecture de Thwaite

Ce tableau regroupe tous les nombres jusqu'à 1000 sous la forme (temps de vol/iterations => nombres ayant ce temps de vol)

Ce tableau regroupe tous les nombres jusqu'à 1000 sous la forme (altitude maxi de vol => nombres ayant cette altitude maxi)

Le tableau ci-dessus montre des altitudes jusque 250504 pour les nombres jusque 1000. Mais il existe une infinité de nombre qui vont plus haut.

Pour tout nombre N donné (N très grand), alors le nombre impair le plus proche de N aura une altitude encore plus grande.

Formulée en 1937 par Lothar Collatz (mathématicien allemand), elle reste à ce jour irrésolue : personne n'a encore pu prouver que cette conjecture se termine toujours par 1.