Valuation 2-Adique

La valuation 2-adique, notée $ v_2 $, est la fonction qui mesure la puissance de 2 qui divise un nombre. Pour un entier non nul $ n $, $ v_2(n) $ est l'exposant de 2 dans sa factorisation en nombres premiers.

Plus généralement, $ v_2(n) $ indique combien de fois $ n $ est divisible par 2. Par convention, $ v_2(0) = +\infty $ et $ v_2(-n) = v_2(n) $

Pour un entier naturel $ n > 0 $, effectuer des divisions successives par 2 et compter le nombre de divisions exactes avant d'obtenir un quotient impair. Ce nombre est $ v_2(n) $. Équivalemment, $ v_2(n) $ est le plus grand entier $ k $ tel que $ 2^k $ divise $ n $.

Un nombre pair vérifie $ v_2(n) \geq 1 $, tandis qu'un nombre impair vérifie $ v_2(n) = 0 $

Pour un entier positif non nul, écrire le nombre en base 2 et compter les zéros finaux, c'est-à-dire les zéros situés à droite de l'écriture binaire. Ce nombre est exactement $ v_2(n) $.

Pour un rationnel non nul $ a/b $, avec $ a \neq 0 $ et $ b \neq 0 $, étendre la valuation par la formule $ v_2(a/b) = v_2(a) - v_2(b) $. Cette définition ne dépend pas de la représentation choisie pour le rationnel.

Utiliser la formule de Legendre $ v_2(n!) = \sum_{k\geq1} \left\lfloor n/2^k \right\rfloor $

La somme s'arrête dès que $ 2^k > n $

Une autre formule utile est $ v_2(n!) = n-s_2(n) $, où $ s_2(n) $ est le nombre de chiffres 1 de $ n $ écrit en base 2