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Représentation de Zeckendorf

Outil pour appliquer/vérifier le théorème de Zeckendorf stipulant que tout nombre entier peut être écrit sous la forme de somme de nombres de Fibonacci aussi appelé représentation de Zeckendorf.

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Représentation de Zeckendorf -

Catégorie(s) : Arithmétique

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Représentation de Zeckendorf

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Calculateur de Représentation de Zeckendorf


Outil pour appliquer/vérifier le théorème de Zeckendorf stipulant que tout nombre entier peut être écrit sous la forme de somme de nombres de Fibonacci aussi appelé représentation de Zeckendorf.

Réponses aux Questions

Qu'est ce que le théorème de Zeckendorf ? (Définition)

Tout entier naturel $ n \in \mathbb{N} $ possède une représentation unique sous la forme d'une somme de nombres de Fibonacci non consécutifs. Sa formule s'écrit : $$ n = \sum_{i=0}^{k} \alpha_i F_{i} $$ avec $ F_i $ le ième nombre de Fibonacci, $ \alpha_i $ un nombre binaire valant $ 0 $ ou $ 1 $ (manière d'indiquer que soit le nombre de Fibonacci est dans la somme, soit il ne l'est pas) et $ \alpha_i \times \alpha_{i+1} = 0 $ (manière de rendre impossible 2 nombres de Fibonacci consécutif).

Cette propriété est utilisée dans le codage de Fibonacci (une représentation binaire de tout nombre entier, basée sur les valeurs de $ \alpha_i $)

Comment calculer une représentation de Zeckendorf ?

Indiquer une valeur d'un nombre $ N $ et dCode fera le calcul automatiquement.

Exemple : 10000 est la somme de $ 6765 + 2584 + 610 + 34 + 5 + 2 $, respectivement les 20ème, 18ème, 15ème, 9ème, 5ème et 3ème nombres de Fibonacci

Algorithmiquement, dCode utilise la formule de Binet pour obtenir les nombres de Fibonacci proches d'un nombre donné et les soustrait recursivement jusqu'à trouver la représentation de Zeckendorf.

Code source

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