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Fonction de Von Mangoldt

Outil pour calculer les valeurs de la fonction Lambda Λ de von Mangoldt. La fonction Λ de Mangoldt est une fonction arithmétique avec des propriétés liées aux nombres premiers.

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Fonction de Von Mangoldt -

Catégorie(s) : Arithmétique

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Fonction de Von Mangoldt

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Calculatrice de Lambda Λ(n)


Outil pour calculer les valeurs de la fonction Lambda Λ de von Mangoldt. La fonction Λ de Mangoldt est une fonction arithmétique avec des propriétés liées aux nombres premiers.

Réponses aux Questions

Qu'est ce que la fonction Lambda de Von Mangoldt ? (Définition)

La fonction \( \Lambda (n) \) (appelée fonction Lambda de Mangoldt) est définie par : $$ \Lambda (n)= {\begin{cases}\ln p & {\mbox{si }}n=p^{k} \\ 0 & {\mbox{sinon}} \end{cases} } $$

avec \( p \) un nombre premier et \( k \in \mathbb{N}, k \geq 1 \) (un entier naturel positif non nul).

Il s'agit du logarithme naturel \( \log(n) = \ln( n ) \)

Exemple : Les valeurs de \( \Lambda (n) \) pour les premières valeurs de \( n \) sont :

nΛ(n)
10
2\( \ln 2 \)
3\( \ln 3 \)
4\( \ln 2 \)
5\( \ln 5 \)
6\( 0 \)
7\( \ln 7 \)
8\( \ln 2 \)
9\( \ln 3 \)

Quelles sont les propriétés de la fonction Lambda de Von Mangoldt ?

De part sa définition, \( \Lambda (n) \) permet de décrire la valeur du logarithme népérien \( \ln n \) : $$ \ln n=\sum _{d\mid n}\Lambda (d) $$ avec \( d \) un entier naturel qui divise \( n \).

Exemple : $$ \begin{align}\sum_{d \mid 8} \Lambda(d) &= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda(4) + \Lambda(8) \\ &= \Lambda(1) + \Lambda(2) + \Lambda (2^2) + \Lambda(2^3) \\ &= 0 + \ln(2) + \ln(2) + \ln(2) \\ &=\ln (2 \times 2 \times 2) \\ &= \ln(8) \end{align} $$

Quel est le lien avec la Constante gamma d'Euler-Mascheroni ?

La fonction Lambda de Hans Von Mangoldt permet de calculer \( \gamma \) la Constante d'Euler-Mascheroni via la formule : $$ \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{\Lambda(n)-1}{n}}=-2\gamma $$

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