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Forme Normale d'Hermite (Matrice)

Outil de calcul de la forme normale d'Hermite (par réduction d'une matrice à sa forme échelonnée) à partir d'une matrice M (à coefficients dans Z) le calcul fournit 2 matrices H et U telles que $ H = U . M $.

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Forme Normale d'Hermite (Matrice) -

Catégorie(s) : Matrice

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Forme Normale d'Hermite (Matrice)

Calcul de Forme Normale d'Hermite

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Outil de calcul de la forme normale d'Hermite (par réduction d'une matrice à sa forme échelonnée) à partir d'une matrice M (à coefficients dans Z) le calcul fournit 2 matrices H et U telles que $ H = U . M $.

Réponses aux Questions

Comment calculer la décomposition d'Hermite ?

Une matrice $ M $ de taille $ n \times m $ ayant des coefficients entiers (naturels ou relatifs) possède une décomposition d'Hermite si il existe une matrice triangulaire $ H $ et une matrice unimodulaire $ U $ telle que $ H = U . M $. Rappel : Une matrice triangulaire supérieure $ H $ est telle que $ H_{i,j} = 0 $ pour $ i > j $ et une matrice unimodulaire est une matrice carrée inversible à coefficients entiers dont le déterminant est $ \pm 1 $.

Exemple : $$ M = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow H = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 3 \end{bmatrix}, U = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} $$

Il existe deux formes pour la matrice d'Hermite, soit une matrice triangulaire supérieure telle que $ H = U.M $ (aussi appelée forme normale d'Hermite style ligne ou row style) soit une matrice triangulaire inférieure telle que $ H = M.U $ (aussi appelée forme normale d'Hermite style column ou column style)

dCode utilise l'algorithme LLL (Lenstra–Lenstra–Lovász) pour calculer la décomposition d'Hermite (le calcul à la main est déconseillé)

Qu'est-ce que la forme normale d'Hermite ?

Une matrice en forme normale d'Hermite est la matrice échelonnée triangulaire $ H $ calculée par la décomposition d'Hermite (ci-dessus) via réduction à sa forme échelonnée de la matrice.

Code source

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Source : https://www.dcode.fr/hermite-matrice
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