Outil de calcul de la forme normale d'Hermite (par réduction d'une matrice à sa forme échelonnée) à partir d'une matrice M (à coefficients dans Z) le calcul fournit 2 matrices H et U telles que $ H = U . M $.
Forme Normale d'Hermite (Matrice) - dCode
Catégorie(s) : Matrice
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Forme Normale d'Hermite (Matrice)
Calcul de Forme Normale d'Hermite
Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que la forme normale d'Hermite ? (Définition)
La forme normale d'Hermite (FNH) d'une matrice entière est une forme canonique obtenue à partir de transformations unimodulaires.
Dans la version ligne, une matrice $ H $ est en forme normale d'Hermite si :
— $ H $ est échelonnée (chaque pivot est strictement à droite de celui de la ligne précédente)
— les pivots sont strictement positifs
— les coefficients au-dessus des pivots vérifient $ 0 \leq H_{i,j} < H_{k,j} $ où $ H_{k,j} $ est le pivot de la colonne
— les lignes nulles éventuelles sont en bas
Cette forme est unique pour une matrice donnée.
Quelle est la différence entre la forme 'ligne' et la forme 'colonne' ?
Il existe deux conventions pour définir la forme normale d'Hermite :
— forme ligne : il existe une matrice unimodulaire $ U $ telle que $ U M = H $
— forme colonne : il existe une matrice unimodulaire $ U $ telle que $ M U = H $
Dans les deux cas, $ H $ vérifie des propriétés d'échelonnement et de réduction. La différence vient du fait que les opérations sont appliquées sur les lignes ou sur les colonnes.
Comment calculer la décomposition d'Hermite ?
Pour une matrice entière $ M $, il existe une matrice unimodulaire $ U $ telle que : $ U M = H $
Le calcul consiste à appliquer des opérations élémentaires sur les lignes (échanges, additions, combinaisons linéaires entières) afin d'obtenir une matrice échelonnée respectant les contraintes de la forme normale d'Hermite.
Ces opérations reposent notamment sur l'algorithme d'Euclide étendu pour éliminer les coefficients sous les pivots tout en restant dans les entiers.
Le calcul à la main est possible pour des matrices de petite taille, mais des algorithmes spécialisés sont utilisés en pratique pour des matrices plus grandes.
Exemple : $$ M = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow U = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 3 \end{bmatrix}, H = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} $$
dCode utilise l'algorithme LLL (Lenstra–Lenstra–Lovász) pour calculer la décomposition d'Hermite
La forme normale d'Hermite est-elle unique ?
Oui, la forme normale d'Hermite est unique pour une matrice entière donnée, à condition de fixer la convention utilisée (forme ligne ou forme colonne).
Les contraintes sur les pivots et les coefficients assurent cette unicité.
Quelle est la différence entre la forme normale d'Hermite et la forme échelonnée classique ?
La forme échelonnée classique est définie sur les nombres réels et autorise des divisions arbitraires. Elle n'est pas unique.
La forme normale d'Hermite est définie pour les matrices à coefficients entiers et impose de rester dans les entiers.
Elle ajoute des contraintes supplémentaires (pivots positifs, réduction modulo les pivots), ce qui garantit une forme unique.
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