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Fractions Continues

Outil de calcul de fractions continues. Une fraction continue (ou fraction continuée) est une représentation d'un nombre N sous la forme d'une série d'entiers (a0, a1, ..., an) tels que N = (a0+1/(a1+1/(a2+1/(...1/(an))).

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Fractions Continues

Développement en fractions continuées






Outil de calcul de fractions continues. Une fraction continue (ou fraction continuée) est une représentation d'un nombre N sous la forme d'une série d'entiers (a0, a1, ..., an) tels que N = (a0+1/(a1+1/(a2+1/(...1/(an))).

Réponses aux Questions

Comment calculer une fraction continue ? (Algorithme de calcul)

Le principe de développement en fraction continuée se rapproche de l'algorithme d'Euclide de division euclidienne, comme pour la recherche du PGCD.

Exemple : Soit la fraction approximant pi \( 355/113 = 3.14159292035... \)

$$ 355 = 3 \times 113 + 16 \\ 113 = 7 \times 16 + 1 \\ 16 = 16 \times 1 + 0 $$

La fraction continue correspondante est [3,7,16]

Certains développements de fractions continues sont infinis

Pour trouver la fraction simple correspondante, utiliser l'outil de fractions irréductibles.

Comment calculer la fraction continue d'une racine ?

Calculer une valeur approchée de la racine (la plus précise possible) et dCode fournira la fraction continue correspondante.

Comment écrire une fraction continue en LaTeX ?

La manière recommandée est d'utiliser cfrac : $$ e=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{ 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{6+\cdots}}}}}}}} $$

Mais la manière courte, appellée abrégée, s'écrit $$ e = [2 ; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, \cdots] $$

Quelles sont les fractions continues remarquables ?

Les fractions continues les plus connues sont :

- Racine de 2 : \( \sqrt{2} = [1;2,2,2,2,2,\cdots] \)

- Nombre d'or \( \Phi = [1;1,1,1,1,1,\cdots] \)

Fraction continue ou fraction continuée ?

Fraction continue est le terme le plus utilisée, d'où le nom de cette page, et fraction continuée est souvent considéré comme un anglicisme (continued fraction).

Cependant, ces fractions sont des 'continuations' à l'infini de fractions, elles sont sans vrai rapport avec la notion mathématique de 'continuité'. Le terme le plus exact mathématiquement serait donc 'fractions continuées' et non pas 'fractions continues'. (Merci JMV)

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Questions / Commentaires

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