Fractions Continues

Le principe de développement en fraction continuée se rapproche de l'algorithme d'Euclide de division euclidienne, comme pour la recherche du PGCD.

Exemple : Soit la fraction approximant pi \( 355/113 = 3.14159292035... \)

$$ 355 = 3 \times 113 + 16 \\ 113 = 7 \times 16 + 1 \\ 16 = 16 \times 1 + 0 $$

La fraction continue correspondante est [3,7,16]

Certains développements de fractions continues sont infinis

Pour trouver la fraction simple correspondante, utiliser l'outil de fractions irréductibles.

Calculer une valeur approchée de la racine (la plus précise possible) et dCode fournira la fraction continue correspondante.

La manière recommandée est d'utiliser cfrac : $$ e=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{ 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{6+\cdots}}}}}}}} $$

Mais la manière courte, appellée abrégée, s'écrit $$ e = [2 ; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, \cdots] $$

Les fractions continues les plus connues sont :

- Racine de 2 : \( \sqrt{2} = [1;2,2,2,2,2,\cdots] \)

- Nombre d'or \( \Phi = [1;1,1,1,1,1,\cdots] \)

Fraction continue est le terme le plus utilisée, d'où le nom de cette page, et fraction continuée est souvent considéré comme un anglicisme (continued fraction).

Cependant, ces fractions sont des 'continuations' à l'infini de fractions, elles sont sans vrai rapport avec la notion mathématique de 'continuité'. Le terme le plus exact mathématiquement serait donc 'fractions continuées' et non pas 'fractions continues'. (Merci JMV)