Flocon de Koch

La longueur de la frontière du flocon est infinie. A chaque itération, une ligne de longueur \( 1 \) (unité) voit sa taille devenir \( 4/3 \) (augmentation de 33.3%).

Mesuré à partir d'une ligne droite divisée en 3 segments est obtenue une ligne brisée de 4 segments : la longueur est donc bien augmentée de \( 4/3 \).

Exemple : Après 2 itérations, une ligne de longueur initiale \( l \) vaut à présent \( l \times \frac43 \times \frac43 = l \times \frac{16}{9} \).

Si le nombre d'itérations est infini, la longueur est infiniment augmentée de \( 4/3 \). La longueur totale de la courbe fractale est donc théoriquement infinie. $$ \lim\limits_{n \to +\infty} \left( \frac43 \right)^n = +\infty $$

L'aire du flocon est finie et vaut les 8/5 de l'aire du triangle de départ.

L'algorithme est le suivant :

0 - Dessiner un triangle isocèle et pour chaque coté (segment)

1 - Calculer les points à 1/3 et 2/3 du segment

2 - Dessiner le triangle isocele ayant pour base le segment formé avec les 2 points trouvés

3 - Effacer la base de ce nouveau triangle

4 - Recommencer à l'étape 1 pour chaque segment de la nouvelle figure