Flocon de Koch

La longueur de la frontière du flocon est infinie. A chaque itération, une ligne de longueur $ 1 $ (unité) voit sa taille devenir $ 4/3 $ (augmentation de 33.3%).

Mesurée à partir d'une ligne droite divisée en 3 segments, est obtenue une ligne brisée de 4 segments, la longueur est donc bien augmentée de $ 4/3 $.

Exemple : Après 2 itérations, une ligne de longueur initiale $ l $ vaut à présent $ l \times \frac43 \times \frac43 = l \times \frac{16}{9} $.

Si le nombre d'itérations est infini, la longueur est infiniment de fois augmentée de $ 4/3 $. La longueur totale de la courbe fractale est donc théoriquement infinie.

$$ \lim\limits_{n \to +\infty} \left( \frac43 \right)^n = +\infty $$

L'aire du flocon est finie et vaut les $ 8/5 $ de l'aire du triangle de départ.

Pour un coté du triangle $ a $, l'aire finale du flocon vaut $ \frac{2a^2\sqrt{3}}{5} $

L'algorithme est le suivant :

0 - Dessiner un triangle isocèle et pour chaque coté (segment)

1 - Calculer les points à 1/3 et 2/3 du segment

2 - Dessiner le triangle isocèle ayant pour base le segment formé avec les 2 points trouvés

3 - Effacer la base de ce nouveau triangle

4 - Recommencer à l'étape 1 pour chaque segment de la nouvelle figure

Mathématiquement, le dessin final s'appelle la courbe de Koch, et sa base est un ensemble de Cantor.