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Flocon de Koch

Outils pour calculer l'aire et le périmètre du flocon de Koch (ou courbe de Koch), courbe fractale représentant un flocon de neige.

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Flocon de Koch -

Catégorie(s) : Géométrie

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Flocon de Koch

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Calcul de l'Aire



Calcul du Périmètre



Outils pour calculer l'aire et le périmètre du flocon de Koch (ou courbe de Koch), courbe fractale représentant un flocon de neige.

Réponses aux Questions

Comment calculer le périmètre du Flocon de Koch ?)

La longueur de la frontière du flocon est infinie. A chaque itération, une ligne de longueur $ 1 $ (unité) voit sa taille devenir $ 4/3 $ (augmentation de 33.3%).

Mesurée à partir d'une ligne droite divisée en 3 segments, est obtenue une ligne brisée de 4 segments, la longueur est donc bien augmentée de $ 4/3 $.

Exemple : Après 2 itérations, une ligne de longueur initiale $ l $ vaut à présent $ l \times \frac43 \times \frac43 = l \times \frac{16}{9} $.

Si le nombre d'itérations est infini, la longueur est infiniment de fois augmentée de $ 4/3 $. La longueur totale de la courbe fractale est donc théoriquement infinie.

$$ \lim\limits_{n \to +\infty} \left( \frac43 \right)^n = +\infty $$

Comment calculer l'aire du flocon de Koch ?

L'aire du flocon est finie et vaut les $ 8/5 $ de l'aire du triangle de départ.

Pour un coté du triangle $ a $, l'aire finale du flacon vaut $ \frac{2a^2\sqrt{3}}{5} $

Comment dessinger le flocon de Koch ?

L'algorithme est le suivant :

0 - Dessiner un triangle isocèle et pour chaque coté (segment)

1 - Calculer les points à 1/3 et 2/3 du segment

2 - Dessiner le triangle isocèle ayant pour base le segment formé avec les 2 points trouvés

3 - Effacer la base de ce nouveau triangle

4 - Recommencer à l'étape 1 pour chaque segment de la nouvelle figure

Mathématiquement, le dessin final s'appelle la courbe de Koch, et sa base est un ensemble de Cantor.

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