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Théorème de Pick

Outil pour appliquer et calculer une surface à l'aide du Théorème de Pick qui permet le calcul de l'aire d'un polygone positionné sur une grille orthogonale normée et dont les sommets sont des points de la grille.

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Théorème de Pick -

Catégorie(s) : Géométrie

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Théorème de Pick

Calculatrice selon Pick



Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est ce que le Théorème de Pick ? (Définition)

Le Théorème de Pick est une formule mathématique qui permet de calculer l'aire (surface) d'un polygone dont les sommets ont des coordonnées entières dans un plan cartésien (un quadrillage/grille 2D).

Pour un polygone à $ b $ sommets construit sur un quadrillage (les sommets sont des points de la grille) présentant $ i $ points à l'intérieur, la formule de Pick indique que l'aire $ A $ du polygone vaut $$ A = i + \frac{b}{2} - 1 $$

Tous les points présents sur le contour sont considérés comme des sommets (les angles des sommets sont plats dans ce cas).

Comment calculer une aire selon le Théorème de Pick ?

La formule de Pick demande deux paramètres : le nombre $ i $ de points intérieurs du polygone et le nombre $ b $ de points sur le contour/périmètre du polygone. L'aire $ A $ du polygone vaut $ A = i + \frac{b}{2} - 1 $

Exemple : Le polygone dessiné ci après example.png possède 15 points à l'intérieur du polygone (gris clair), et 10 sommets (gris foncé). Son aire est donc de $ A = 15 + 10/2 - 1 = 19 $.

Le Théorème de Pick fonctionne-t-il pour les polygones concaves ?

Oui, le Théorème de Pick peut être appliqué à des polygones concaves tant que les sommets ont des coordonnées entières.

Comment utiliser le Théorème de Pick pour des polygones avec des trous à l'intérieur ?

Le Théorème de Pick ne s'applique qu'aux polygones simples sans trous à l'intérieur. Cependant, si le ou les trous forment un polygone éligible au Théorème de Pick, alors il est possible de calculer l'aire du polygone à trou (en ignorant les trous) et d'y soustraire les aires des trous pour obtenir l'aire du polygone avec des trous.

Qui a créé le Théorème de Pick ?

La formule doit son nom à Georg Alexander Pick qui l'a décrite en 1899.

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Citer comme source bibliographique :
Théorème de Pick sur dCode.fr [site web en ligne], consulté le 25/06/2024, https://www.dcode.fr/theoreme-de-pick

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