Argument de Nombre Complexe

L'argument est un angle \( \theta \) qualifiant le nombre complexe \( z \) dans le plan complexe :

$$$ \arg(z) = 2\arctan \left( \frac{\Im(z)}{\Re(z) + |z|} \right) = \theta \mod 2\pi $$$

avec \( \Re(z) \) la partie réelle et \( \Im(z) \) la partie imaginaire de \( z \).

Exemple : Soit \( z = 1+i \), la partie réelle vaut \( 1 \), la partie imaginaire vaut \( 1 \) et le module du nombre complexe \( |z| \) vaut \( \sqrt(2) \), donc \( \arg(z) = 2 \arctan \left( \frac{1}{1 + \sqrt(2) } \right) = \frac{\pi}{4} \)

Le résultat du calcul \( \arg(z) \) est une valeur entre \( -\pi \) et \( +\pi \) et la valeur de theta est modulo \( 2\pi \)

En électricité, l'argument est équivalent à la phase (et le module est la valeur efficace).

Soient \( z \), \( z_1 \) et \( z_2 \) des nombres complexes non nuls et \( n \) est un nombre entier naturel. Les propriétés remarquables de la fonction argument sont :

$$$ \arg( z_1 \times z_2 ) \equiv \arg(z_1) + \arg(z_2) \mod 2\pi $$$

$$$ \arg( z^n ) \equiv n \times \arg(z) \mod 2\pi $$$

$$$ \arg( \frac{1}{z} ) \equiv -\arg(z) \mod 2\pi $$$

$$$ \arg( \frac{z_1}{z_2} ) \equiv \arg(z_1) - \arg(z_2) \mod 2\pi $$$

Soient \( a \) un réel strictement positif et \( b \) un réel strictement négatif, alors

$$$ \arg(a \cdot z) \equiv \arg(z) \mod 2\pi $$$

$$$ \arg(b \cdot z) \equiv \arg(z) +\pi \mod 2\pi $$$

L'argument de \( 0 \) vaut \( 0 \)