Argument de Nombre Complexe

L'argument est un angle $ \theta $ qualifiant le nombre complexe $ z $ dans le plan complexe est noté arg ou Arg :

$ \arg(z) = 2\arctan \left( \frac{\Im(z)}{\Re(z) + |z|} \right) = \theta \mod 2\pi $

avec $ \Re(z) $ la partie réelle et $ \Im(z) $ la partie imaginaire de $ z $.

Exemple : Soit $ z = 1+i $, la partie réelle vaut $ 1 $, la partie imaginaire vaut $ 1 $ et le module du nombre complexe $ |z| $ vaut $ \sqrt(2) $, donc $ \arg(z) = 2 \arctan \left( \frac{1}{1 + \sqrt(2) } \right) = \frac{\pi}{4} $

Le résultat du calcul $ \arg(z) $ est une valeur entre $ -\pi $ et $ +\pi $ et la valeur de theta est modulo $ 2\pi $

En électricité, l'argument est équivalent à la phase (et le module est la valeur efficace).

Soient $ z $, $ z_1 $ et $ z_2 $ des nombres complexes non nuls et $ n $ est un nombre entier naturel. Les propriétés remarquables de la fonction argument sont :

$ \arg( z_1 \times z_2 ) \equiv \arg(z_1) + \arg(z_2) \mod 2\pi $

$ \arg( z^n ) \equiv n \times \arg(z) \mod 2\pi $

$ \arg( \frac{1}{z} ) \equiv -\arg(z) \mod 2\pi $

$ \arg( \frac{z_1}{z_2} ) \equiv \arg(z_1) - \arg(z_2) \mod 2\pi $

Soient $ a $ un réel strictement positif et $ b $ un réel strictement négatif, alors

$ \arg(a \cdot z) \equiv \arg(z) \mod 2\pi $

$ \arg(b \cdot z) \equiv \arg(z) +\pi \mod 2\pi $

L'argument de $ 0 $ vaut $ 0 $ (le nombre 0 a une partie réelle et complexe nulle et donc un argument nul).

Si l'argument d'un nombre complexe est $ \arg(z) = 0 $ alors le nombre n'a pas de partie imaginaire (c'est un nombre réel).

L'argument est un angle, généralement en radian. Les angles se répètent tous les $ 2\pi $ donc il y en a une infinité.

L'argument principal est celui qui est compris entre $ -\pi $ et $ \pi $ (mais parfois certains considèrent que c'est celui entre $ 0 $ et $ 2\pi $)