Module de Nombre Complexe

Le module est la longueur (valeur absolue) dans le plan complexe qualifiant le nombre complexe $ z = a+ib $ (avec $ a $ la partie réelle et $ b $ la partie imaginaire), il est noté $ |z| $ et est égal à $ |z| = \sqrt{a^2+b^2} $.

Le module peut s'interpréter comme la distance séparant le point (représentant le nombre complexe) et l'origine du repère du plan complexe.

Pour trouver le module d'un nombre complexe $ z = a+ib $ réaliser le calcul $ |z| = \sqrt{a^2+b^2} $

Exemple : $ z = 1+2i $ (d'abscisse 1 et d'ordonnée 2 sur le plan complexe) alors le module $ |z| = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5} $

Le calcul s'applique aussi avec la forme exponentielle du nombre complexe.

Le module d'un nombre réel est équivalent à sa valeur absolue.

Exemple : $ |-3| = 3 $

Pour les nombres complexes $ z, z_1, z_2 $ le module complexe a les propriétés :

$$ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| $$

$$ \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \quad z_2 \ne 0 $$

$$ |z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2| $$

Un module est une valeur absolue, donc a une valeur forcément positive (ou nulle) :

$$ |z| \ge 0 $$

Le module d'un nombre complexe et son conjugué sont égaux :

$$ |\overline z|=|z| $$