Probabilité Conditionnelle

La probabilité conditionnelle mesure la probabilité qu'un événement $ A $ se réalise sachant qu'un autre événement $ B $ s'est déjà produit. Elle se note $ P(A|B) $, se lit probabilité de A sachant B et se calcule par la formule :

$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

avec $ P(A \cap B) $ la probabilité que $ A $ et $ B $ se réalisent simultanément et $ P(B) $ la probabilité que $ B $ se réalise (probabilité qui ne peut pas être nulle)

Interprétation intuitive : conditionner par $ B $ revient à restreindre l'ensemble des possibles au seul cas où $ B $ est vrai, puis à mesurer la fréquence de $ A $ dans ce nouvel ensemble.

Le théorème de Bayes reformule une probabilité conditionnelle en inversant la condition :

$$ P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)} $$

L'inférence bayesienne permet de calculer B sachant A à partir de A sachant B et réciproquement.

Les probabilités conditionnelles servent à intégrer l'information disponible dans le calcul. Elles permettent notamment de :

— mettre à jour une hypothèse à la lumière de nouvelles données (tests médicaux, diagnostics, prévisions);

— modéliser des dépendances entre événements;

— éviter des contresens en distinguant corrélation et causalité.

La probabilité conditionnelle $ P(A|B) $ est la probabilité de $ A $ sous la condition que $ B $ soit réalisé.

La probabilité conjointe $ P(A\cap B) $ est probabilité que $ A $ et $ B $ se réalisent ensemble, sans condition préalable.

Ces 2 probabilités sont reliées par la formule : $$ P(A|B) \cdot P(B) = P(A \cap B) $$

Les 2 probabilités $ P(A|B) $ et $ P(B|A) $ sont généralement différentes et souvent confondues à tort.

Deux événements $ A $ et $ B $ sont indépendants si la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre, c'est-à-dire si $ P(A|B) = P(A) $ ou, de manière équivalente $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $

Cette indépendance est symétrique et implique aussi $ P(B|A) = P(B) $