Nombres de Bell

Un nombre de Bell $ B_n $ est le nombre de façons de partitionner un ensemble de $ n $ éléments distincts en sous-ensembles non vides et disjoints.

Le calcul des nombres de Bell par récurrence est donné par la formule : $$ B_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k $$

Pour partitionner un ensemble de $ n+1 $ éléments, fixer un élément $ x $. Pour chaque $ k $ (nombre d'éléments hors de la partie contenant $ x $), choisir $ k $ éléments parmi $ n $, puis partitionner ces $ k $ éléments.

Il est possible de calculer les nombres de Belle par une autre formule de série infinie : $$ B_n = \frac{1}{e} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k^n}{k!} $$

Les 50 premières valeurs de $ B_n $ sont : 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597, 27644437, 190899322, 1382958545, 10480142147, 82864869804, 682076806159, 5832742205057, 51724158235372, 474869816156751, 4506715738447323, 44152005855084346, 445958869294805289, 4638590332229999353, 49631246523618756274, 545717047936059989389, 6160539404599934652455, 71339801938860275191172, 846749014511809332450147, 10293358946226376485095653, 128064670049908713818925644, 1629595892846007606764728147, 21195039388640360462388656799, 281600203019560266563340426570, 3819714729894818339975525681317, 52868366208550447901945575624941, 746289892095625330523099540639146, 10738823330774692832768857986425209, 157450588391204931289324344702531067, 2351152507740617628200694077243788988, 35742549198872617291353508656626642567, 552950118797165484321714693280737767385, 8701963427387055089023600531855797148876, 139258505266263669602347053993654079693415, 2265418219334494002928484444705392276158355, 37450059502461511196505342096431510120174682, 628919796303118415420210454071849537746015761, 10726137154573358400342215518590002633917247281, 185724268771078270438257767181908917499221852770

voir OEIS A000110 ici

Le triangle de Bell (ou triangle d'Aitken) est un arrangement triangulaire de nombres qui permet de calculer efficacement les nombres de Bell $ B_n $.

Il est construit à partir des coefficients binomiaux et reflète la relation de récurrence des nombres de Bell :

$$ B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} $$

Construction :

— La première ligne contient uniquement le nombre 1 ($ B_0 $)

— Chaque ligne suivante commence par le dernier nombre de Bell calculé.

— Les éléments suivants sont obtenus en additionnant le nombre précédent avec celui situé au-dessus.

La première colonne donne directement les nombres de Bell.

Les nombres de Bell sont la somme des nombres de Stirling de seconde espèce : $$ B_n = \sum_{k=0}^n S(n, k) $$

Avec $ S(n, k) $ la fonction qui compte le nombre de partitions d'un ensemble de $ n $ éléments en $ k $ sous-ensembles. La somme sur $ k $ donne toutes les partitions possibles.