Noyau d'une Matrice

Le noyau (ou kernel en anglais) d'une matrice $ A $ de taille $ m \times n $ est l'ensemble des vecteurs $ \vec{x} \in \mathbb{R}^n $ (ou $ \mathbb{C}^n $) tels que $ A \vec{x} = \vec{0} $, où $ \vec{0} $ est le vecteur nul de $ \mathbb{R}^m $. Cet ensemble forme un sous-espace vectoriel de $ \mathbb{R}^n $. Il correspond à l'espace nul de l'application linéaire associée à $ A $, c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs envoyés sur le vecteur nul.

Pour calculer le noyau de $ A $ :

— Écrire le système homogène $ A\vec{x} = \vec{0} $.

— Réduire la matrice par la méthode du pivot de Gauss jusqu'à obtenir une forme échelonnée (idéalement échelonnée réduite).

— Identifier les variables pivots (colonnes avec pivot) et les variables libres (colonnes sans pivot).

— Exprimer les variables pivots en fonction des variables libres.

— Paramétrer les solutions : le noyau est l'ensemble des solutions du système, ce qui forme un sous-espace vectoriel engendré par des vecteurs obtenus en faisant varier les paramètres.

Le noyau contient toujours au moins le vecteur nul $ \vec{0} $, car $ A \vec{0} = \vec{0} $. Il est donc toujours non vide.

Si le noyau se réduit à $ { \vec{0} } $, alors l'application linéaire associée à $ A $ est injective.

Cela signifie que des vecteurs différents ont toujours des images différentes.

Le noyau est l'ensemble des vecteurs $ \vec{x} $ tels que $ A \vec{x} = \vec{0} $. C'est un sous-espace vectoriel de $ \mathbb{R}^n $.

L'image est l'ensemble des vecteurs $ \vec{y} $ tels qu'il existe $ \vec{x} $ vérifiant $ A\vec{x} = \vec{y} $. C'est un sous-espace vectoriel de $ \mathbb{R}^m $. La relation fondamentale est : $ \dim(\operatorname{Ker}(A)) + \dim(\operatorname{Im}(A)) = n $, où $ n $ est le nombre de colonnes de $ A $ (théorème du rang).

Le rang de $ A $, noté $ \operatorname{Rank}(A) $, mesure la dimension de l'image. La dimension du noyau est appelée la nullité. Ces deux quantités sont liées par la relation :

$ \dim(\operatorname{Ker}(A)) + \operatorname{Rank}(A) = n $, où $ n $ est le nombre de colonnes de $ A $.

Ainsi, si $ A $ est inversible (donc $ \operatorname{Rank}(A) = n $), alors son noyau se réduit à $ { \vec{0} } $.

Si $ A $ est la matrice nulle de taille $ m \times n $, alors $ A \vec{x} = \vec{0} $ pour tout $ \vec{x} \in \mathbb{R}^n $.

Donc $ \operatorname{Ker}(A) = \mathbb{R}^n $, ce qui correspond au noyau de dimension maximale possible pour une matrice à $ n $ colonnes.