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Fonction de Comptage des Premiers

Outil pour compter les nombres premiers via la fonction de comptage des nombres premiers notée pi(n) qui dénombre les nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre réel n.

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Fonction de Comptage des Premiers -

Catégorie(s) : Arithmétique

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Fonction de Comptage des Premiers

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Comptage π(n) de Nombre Premier


Outil pour compter les nombres premiers via la fonction de comptage des nombres premiers notée pi(n) qui dénombre les nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre réel n.

Réponses aux Questions

Qu'est ce que la fonction de comptage des nombres premiers ? (Définition)

La fonction de comptage des nombres premiers, appelée $ \pi(n) $, a pour but de dénombrer/décompter les nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre $ n $

Comment calculer pi(n) ?

Pour les petits nombres, la méthode la plus facile pour compter rapidement tous les premiers inférieurs à $ n $ est d'utiliser la crible d'Ératosthène afin de lister les nombres premiers.

Exemple : $ \pi(100) = 25 $ donc il y a 25 nombres premiers inférieurs à 100.

Comment calculer une approximation de pi(n) ?

La valeur de pi(n) tend vers $ n / \ln(n) $ lorsque $ n $ est très grand :

$$ \lim_{ n \to + \infty } \pi(n) = \frac{ n }{ \ln(n) } $$

Cette formule est aussi appelée le théorème des nombres premiers.

A quoi sert pi(n) ?

Le calcul de pi(n) permet de positionner un nombre premier par rapport à un autre, en connaissant son rang dans la liste des nombres premiers.

Si pi(a) < pi(b) alors a < b.

Comment avoir une approximation du nième nombre premier ?

Une conséquence du théorème des nombres premiers est que le nième nombre premier $ p_n $ est proche de $ n\ln(n) $ (et d'avantage lorsque $ n $ est très grand) $$ p_n\sim n\ln(n) $$

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