Outil pour compter les nombres premiers via la fonction de comptage des nombres premiers notée pi(n) qui dénombre les nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre réel n.
Fonction de Comptage des Premiers - dCode
Catégorie(s) : Arithmétique
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Fonction de Comptage des Premiers
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Comptage π(n) de Nombre Premier
Outil pour compter les nombres premiers via la fonction de comptage des nombres premiers notée pi(n) qui dénombre les nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre réel n.
Réponses aux Questions
Qu'est ce que la fonction de comptage des nombres premiers ? (Définition)
La fonction de comptage des nombres premiers, appelée $ \pi(n) $, a pour but de dénombrer/décompter les nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre $ n $
Comment calculer pi(n) ?
Pour les petits nombres, la méthode la plus facile pour compter rapidement tous les premiers inférieurs à $ n $ est d'utiliser la crible d'Ératosthène afin de lister les nombres premiers.
Exemple : $ \pi(100) = 25 $ donc il y a 25 nombres premiers inférieurs à 100.
Comment calculer une approximation de pi(n) ?
La valeur de pi(n) tend vers $ n / \ln(n) $ lorsque $ n $ est très grand :
$$ \lim_{ n \to + \infty } \pi(n) = \frac{ n }{ \ln(n) } $$
Cette formule est aussi appelée le théorème des nombres premiers.
A quoi sert pi(n) ?
Le calcul de pi(n) permet de positionner un nombre premier par rapport à un autre, en connaissant son rang dans la liste des nombres premiers.
Si pi(a) < pi(b) alors a < b.
Comment avoir une approximation du nième nombre premier ?
Une conséquence du théorème des nombres premiers est que le nième nombre premier $ p_n $ est proche de $ n\ln(n) $ (et d'avantage lorsque $ n $ est très grand) $$ p_n\sim n\ln(n) $$
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