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Fonction de Comptage des Premiers

Outil pour compter les nombres premiers via la fonction de comptage des nombres premiers notée pi(n) qui dénombre les nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre réel n.

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Fonction de Comptage des Premiers -

Catégorie(s) : Arithmétique

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Fonction de Comptage des Premiers

Comptage π(n) de Nombre Premier


Outil pour compter les nombres premiers via la fonction de comptage des nombres premiers notée pi(n) qui dénombre les nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre réel n.

Réponses aux Questions

Qu'est ce que la fonction de comptage des nombres premiers ? (Définition)

La fonction de comptage des nombres premiers, appelée $ \pi(n) $, a pour but de dénombrer/décompter les nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre $ n $

Comment calculer pi(n) ?

Pour les petits nombres, la méthode la plus facile pour compter rapidement tous les premiers inférieurs à $ n $ est d'utiliser la crible d'Ératosthène afin de lister les nombres premiers.

Exemple : $ \pi(100) = 25 $ donc il y a 25 nombres premiers inférieurs à 100.

Comment calculer une approximation de pi(n) ?

La valeur de pi(n) tend vers $ n / \ln(n) $ lorsque $ n $ est très grand :

$$ \lim_{ n \to + \infty } \pi(n) = \frac{ n }{ \ln(n) } $$

Cette formule est aussi appelée le théorème des nombres premiers.

A quoi sert pi(n) ?

Le calcul de pi(n) permet de positionner un nombre premier par rapport à un autre, en connaissant son rang dans la liste des nombres premiers.

Si pi(a) < pi(b) alors a < b.

Comment avoir une approximation du nième nombre premier ?

Une conséquence du théorème des nombres premiers est que le nième nombre premier $ p_n $ est proche de $ n\ln(n) $ (et d'avantage lorsque $ n $ est très grand) $$ p_n\sim n\ln(n) $$

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