Recherche dans les Décimales

Les décimales d'un nombre correspondent aux chiffres situés après la virgule dans sa représentation en base 10.

Un nombre réel peut avoir deux types de développement décimal :

Un nombre rationnel (comme $ \frac{1}{2} = 0.5 $ ou $ \frac{1}{3} = 0.333\ldots $) possède soit un nombre fini de décimales, soit un développement périodique (une séquence de chiffres qui se répète indéfiniment).

Un nombre irrationnel (comme $ \pi $ ou $ \sqrt{2} $) possède un développement décimal infini et non périodique, c'est-à-dire sans motif répétitif.

Il existe donc une infinité de nombres avec une infinité de décimales, mais seuls les nombres irrationnels ont des décimales infinies sans répétition.

Trouver un motif dans les décimales d'un nombre dépend de la nature de ce nombre.

Pour un nombre rationnel, un motif existe nécessairement si le développement est périodique. Il est alors possible de le déterminer analytiquement.

Pour un nombre irrationnel, il n'existe généralement pas de motif répétitif. Les chiffres semblent distribués sans structure apparente.

Dans certains cas particuliers (comme $ \pi $ ou $ e $), les mathématiciens conjecturent que leurs décimales se comportent comme une suite aléatoire (on parle de nombre normal).

En pratique, pour rechercher un motif donné (par exemple une suite de chiffres), l'utilisateur doit parcourir les décimales dans l'ordre à l'aide d'un algorithme de recherche.

Un nombre réel est dit normal (parfois appelé abusivement nombre univers) si, dans son développement décimal, toutes les suites finies de chiffres apparaissent avec la fréquence attendue.

Ainsi, dans un nombre normal en base 10 : chaque chiffre de $ 0 $ à $ 9 $ apparaît environ $ 10% $ du temps et chaque paire de chiffres apparaît environ $ 1% $ du temps, etc.

Autrement dit, toute combinaison finie de chiffres apparaît quelque part dans ses décimales.

Les mathématiciens conjecturent que des constantes comme $ \pi $, $ e $ ou $ \sqrt{2} $ sont normales, mais cela n'a pas encore été démontré.