Outil pour trouver la période d'une fraction ou d'un nombre décimal. La période est un ensemble de chiffres qui se répète à l'infini dans les décimales du nombre (généralement un nombre rationnel ou une une fraction périodique).
Fraction Périodique - dCode
Catégorie(s) : Arithmétique
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Fraction Périodique
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Réponses aux Questions (FAQ)
Qu'est ce qu'un développement décimal périodique ? (Définition)
Le développement décimal périodique d'un nombre rationnel (c'est-à-dire une fraction $ \frac{p}{q} $ avec $ p $ et $ q $ entiers, $ q \neq 0 $) est une écriture décimale dont une suite de chiffres se répète à l'infini.
Exemple : $ \frac{1}{3} = 0.\overline{3} = 0.3333\dots $ (le chiffre 3 se répète indéfiniment)
Exemple : $ \frac{1}{27} = 0.\overline{037} = 0.037037037\dots $ (la suite 037 se répète indéfiniment)
Si un nombre rationnel ne possède pas un développement périodique alors il a un développement décimal fini.
Qu'est ce qu'un développement décimal fini ? (Définition)
Un développement décimal fini est une écriture décimale qui s'arrête après un certain nombre de chiffres après la virgule.
Exemple : $ \frac{4}{25} = 0.16 $ le développement est fini et ne continue pas
Une fraction $ \frac{p}{q} $ a un développement décimal fini si et seulement si le dénominateur $ q $, une fois simplifié, ne contient dans sa décomposition en facteurs premiers que 2 et/ou 5.
Exemple : $ \frac{1}{8} = 0.125 $ car $ 8 = 2^3 $, mais $ \frac{1}{6} = 0.1\overline{6} $ car $ 6 = 2 \times 3 $ (le facteur 3 provoque la périodicité)
Pourquoi certaines fractions ont-elles un développement fini et d'autres une période infinie ?
La nature du développement dépend du dénominateur de la fraction une fois simplifiée.
Si la décomposition en nombres premier du dénominateur ne contient que les facteurs premiers 2 et 5, le développement est fini.
Sinon, il est périodique.
Comment écrire un développement décimal périodique ?
Plusieurs notations existent pour représenter la partie répétée d'un développement décimal périodique :
— Avec des points de suspension (notation non rigoureuse) :
Exemple : $ \frac{37}{300} = 0.12333333\dots $
— Avec une barre au-dessus (notation standard) :
Exemple : $ \frac{37}{300} = 0.12\overline{3} $
Avec une barre en dessous (notation alternative) :
Exemple : $ \frac{37}{300} = 0.12\underline{3} $
Entre crochets (notation occasionnelle) :
Exemple : $ \frac{37}{300} = 0.12[3] $
Pour plus de clarté, écrire la fraction sous forme irréductible avant de développer son écriture décimale.
Comment trouver les décimales d'une fraction ?
Effectuer la division du numérateur par le dénominateur. Poser la division euclidienne à la main ou utiliser la calculatrice dCode.
Pour déterminer le développement décimal d'une fraction $ \frac{p}{q} $, effectuer la division euclidienne du numérateur $ p $ par le dénominateur $ q $.
Dès qu'un reste déjà rencontré réapparaît, la suite de chiffres recommence à se répéter : la période commence.
Exemple : $ \frac{1}{7} = 0.142857142857\dots $ (le reste se répète après 6 étapes, donc la période est 142857)
Comment retrouver la fraction à partir des décimales ?
Méthode pour convertir un nombre décimal périodique $ x $ en fraction :
— Identifier le nombre de chiffres $ n $ dans la période (la partie qui se répète)
Exemple : Pour $ x = 0.1\overline{6} $, la période est $ \overline{6} $, donc $ n = 1 $
— Calculer $ 10^n \times x - x $. Cette soustraction annule la partie périodique, laissant un nombre fini.
Exemple : Calculez $ 10x - x = 9x = 1.\overline{6} - 0.1\overline{6} = 1.5 $
— Résoudre l'équation pour $ x $
Exemple : $ x = \frac{1.5}{9} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6} $
Comment déterminer la longueur de la période d'un développement décimal ?
Pour une fraction irréductible $ \frac{p}{q} $ dont le dénominateur n'est pas multiple de 2 ou 5, la longueur de la période est le plus petit entier $ n $ tel que $ 10^n - 1 $ soit divisible par $ q $ (autrement dit $ 10^n \equiv 1 \mod{q} $)
Exemple : Pour $ \frac{1}{7} $, chercher le plus petit $ n $ tel que $ 10^n - 1 $ soit multiple de 7 : $ 10^6 - 1 = 999999 $ est divisible par 7, donc la période a 6 chiffres : $ 142857 $
Quels sont les développements décimaux les plus connus ?
Les inverses des nombres premiers fournissent des développements décimaux périodiques longs et intéressants.
Exemple : $ 1/3 = 0.333333\dots $
Exemple : $ 1/7 = 0.142857142857\dots $
Existe-t-il un développement décimal infini comportant une série de chiffres qui ne se répète jamais ?
Tout nombre rationnel (toute fraction) a un développement fini ou un décimal périodique avec nombre fini de chiffres qui se répètent à l'infini.
Mais existe des nombres réels non rationnels (qui ne sont pas des fractions) qui ont des décimales sans répétition
Exemple : $ \pi = 3.14159265\dots $ n'a pas de répétition connue à ce jour.
Exemple : La constante de Champernowne n'aura jamais de répétition, c'est un nombre univers.
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